题目内容

如图所示，在光滑固定的水平长杆上套着一个光滑的质量为m的滑环A，滑环通过一根不可伸长的轻绳悬吊一质量为M=3m的重物B，轻绳长为L．将滑环A固定在水平杆上，给B一个水平瞬时冲量作用，使B向左摆动，且恰好刚碰到水平杆．若滑环A不固定，仍给B以同样大小的冲量作用，在此后的运动过程中，求：
（1）B离杆最近时的距离；
（2）B离杆最远时B的速度以及A对杆的压力．
分析：（1）先研究A固定的情形：B摆动过程中，遵守机械能守恒，可列式求出B摆动的初速度．再研究A不固定的情形：A、B系统在水平方向上动量守恒，在B摆到最高点时离杆最近，此时二者有相等的速度，根据动量守恒和机械能守恒列式求解；
（2）B离杆最远时应在最低点，运用归纳法研究：运用动量守恒和机械能守恒列式分别求出第1次、第2次…回到最低点时B、A的速度，即可总结规律．根据牛顿第二定律求出绳子对B的拉力，即可求出A对杆的压力．
解答：解：（1）环A固定时B摆动过程中，由机械能守恒得：
1
2
Mv02=MgL
解得B摆动的初速度：
v
 
0
=
2gL

当A不固定，对A、B系统在水平方向上动量守恒，且在B摆到最高点时离杆最近，此时二者有相等的速度v，则：Mv0=（M+m）v
设B摆到最大高度时离杆的最近距离为h，由机械能守恒得：Mg(L-h)+
1
2
(M+m)v2=
1
2
M
v
2
0

解以上方程得：h=
3
4
L
（2）B离杆最远时应在最低点，B从水平冲量作用获得初速度v0后到第1次回到最低点时，B、A速度分别设为v1和v2，此时A的速度达最大值．
由水平方向动量守恒得：Mv0=Mv1+mv2…①
由机械能守恒得：
1
2
M
v
2
0
=
1
2
M
v
2
1
+
1
2
m
v
2
2
…②
解以上两方程得：v1=
1
2
v0=
1
2
2gL
，v2=
3
2
v0=
3
2
2gL

第2次回到最低点时，B、A速度分别设为
v
′
1
和
v
′
2
，同理可得：
 Mv1+mv2=M
v
′
1
+m
v
′
2
…③
1
2
M
v
2
1
+
1
2
m
v
2
2
=
1
2
M
v
′2
1
+
1
2
m
v
′2
2
…④
解以上两方程得：
v
′
1
=v0=
2gL
，
v
′
2
=0
以此类推可知：B奇数次经过最低点时速度为v1=
1
2
v0=
1
2
2gL
，方向向左；偶数次经过最低点时速度为
v
′
1
=
2gL
，方向向左．
B奇数次经过最低点时绳对B的拉力为T=Mg+M
(
v
 
1
-v2)2
L
=3mg+M
(
2gL
)2
L
=9mg，环A对杆的压力F=mg+9mg=10mg．
B偶数次经过最低点时绳对B的拉力为T′=Mg+M
(
v
′
1
-
v
′
2
)2
L
=3mg+M
(
2gL
)2
L
=9mg，环A对杆的压力F′=mg+9mg=10mg．
可见，无论B是奇数次经过最低点还是偶数次经过最低点，环A对杆的压力相等．
答：
（1）B离杆最近时的距离是
3
4
L；
（2）B奇数次经过最低点时速度为v1=
1
2
v0=
1
2
2gL
，方向向左；偶数次经过最低点时速度为
v
′
1
=
2gL
，方向向左．B经过最低点时环A对杆的压力为10mg．
点评：解决本题关键要把握B离杆最近和最远的条件，运用系统的水平方向动量守恒和机械能守恒列式求解．第2题也可以直接由①②两方程得到两组解：
v1=
3
2
v0，v2=
1
2
v0
v1=v0，v2=0
，以此同样得出结论．
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