Question

4．质量为M的气球上有一质量为m的人，共同静止在距地面高为h的高空中，现在从气球上放下一根不计质量的软绳，人沿着软绳下滑到地面．软绳至少为多长，人才能安全到达地面？

Answer 1

分析 以人和气球的系统为研究对象，系统所受的合外力为零，系统的动量守恒．用软绳的长度和高度h表示人和气球的速度大小，根据动量守恒定律求出软绳的长度．

解答 解：设人沿软绳滑至地面，软绳长度至少为L．以人和气球的系统为研究对象，系统的动量守恒．
规定竖直向下为正方向，由动量守恒定律得：
   0=mv₁-Mv₂…①
人沿软绳滑至地面时，气球上升的高度为L-h，软绳的速度大小：
  v₂=$\frac{L-h}{t}$…②
人相对于地面下降的高度为h，速度大小为：
  v₁=$\frac{h}{t}$…③
将②③代入①得：0=m$\frac{h}{t}$-M（$\frac{L-h}{t}$）=0
解得：L=$\frac{M+m}{M}$h；
答：人沿着软绳下滑到地面．软绳至少为$\frac{M+m}{M}$h长，人才能安全到达地面．

点评 本题为动量守恒定律的应用，属于人船模型的类别，关键要找出人和气球的速度关系和绳子长度的关系．