Question

如图所示的竖直平面内有范围足够大、水平向左的匀强电场，电场强度为E．一绝缘弯杆由两段直杆和一半径R=1.6m的四分之一圆弧杆MN组成，固定在竖直面内，两直杆与圆弧杆的连接点分别是M、N，竖直杆PM和水平杆NQ均足够长，PMN段光滑．现有一质量为m₁=0.2kg、带电荷量为+q的小环1套在PM杆上，从M点的上方的D点静止释放，恰好能达到N点．已知q=2×10^-2C，E=2×10²N/m．g取10m/s²．
（1）求D、M间的距离h₁=？
（2）求小环1第一次通过圆弧杆上的M点时，圆弧杆对小环作用力F的大小？
（3）在水平杆NQ上的N点套一个质量为m₂=0.6kg、不带电的小环2，小环1和2与NQ间的动摩擦因数μ=0.1．现将小环1移至距离M点上方h₂=14.4m处由静止释放，两环碰撞后，小环2在NQ上通过的最大距离是s₂=8m．两环间无电荷转移．环与杆之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力．问经过足够长的时间，小环1的状态？小环1在水平杆NQ上运动通过的总路程s₁=？

Answer 1

分析：（1）应用动能定理可以求出D、M间的距离h₁；
（2）由动能定理求出到达M点时的速度，由牛顿第二定律求出圆弧杆对小环作用力．
（3）环在NQ间运动时要克服摩擦力做功，机械能减少，环最终要静止在N处，由动能定理可以求出环的路程．

解答：解：（1）小环由D到N，由动能定理有m₁g（h₁+R）-qER=0
解得h₁=R
h₁=1.6 m 
（2）设小环由D到M点时速度为v_m，则m1gh1=

1

2

m1

υ

2 m

F-qE=m1

υ 2 m

R

解得F=qE+2m₁g
F=8N 
（3）设小环1从h₂=9R处由静止释放后，到达N点的速度为v₀，碰撞后小环1和2的速度分别是v₁和v₂，则m2gμs2=

1

2

m2

υ

2 2

v₂=

2gμs2

=4 m/s
m1g(h2+R)-qER=

1

2

m1

υ

2 0

υ0=

20m1gR-2qE m

=16 m/s
mv₀=m₁v₁+m₂v₂
v₁=4 m/s
小环1碰撞后向右运动，水平方向受向左的电场力和滑动摩擦力，停止后又将向左运动，回到N点速度大于零，沿竖直轨道运动，将超过D点，以后如此做往复运动，每次回到N点速度越来越小，最后等于零，将不会在水平杆NQ上运动．
小环1的最后状态是：在D、N两点之间做往复运动．

1

2

m1

υ

2 1

=μm1gs1
s₁=8 m
答：（1）求D、M间的距离h₁=1.6m；
（2）小环1第一次通过圆弧杆上的M点时，圆弧杆对小环作用力F的大小为4m/s；
（3）小环1在水平杆NQ上运动通过的总路程是8m．

点评：本题最后一问是本题的难点，分析清楚小环的运动过程，知道小环最终要静止在N点是正确解题的前提与关键，应用动能定理即可正确解析．