Question

8．将一摆球拉至水平位置释放，在荡至最低点的过程中，细线与水平方向夹角为arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，小球在竖直方向的速度最大．

Answer 1

分析 摆球向下摆动的过程中，只有重力做功，机械能守恒，由机械能守恒定律得到小球竖直方向的速度与夹角的关系，再求解即可．

解答 解：设细线与水平方向夹角为α时，小球在竖直方向的速度为v．细线的长度为L．
根据机械能守恒定律得：
  mgLsinα=$\frac{1}{2}m（\frac{v}{cosα}）^{2}$
则得 v²=2gLcos²αsinα=2gL（1-sin²α）sinα
求导得：（v²）′=2gL[（-2sinαcosα）sinα+（1-sin²α）cosα]
当（v²）′=0，解得α=arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$
故当细线与水平方向夹角为arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，小球在竖直方向的速度最大．
故答案为：arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 解决本题的关键要运用数学知识求解极值，是常用的函数法．