Question

（2010?南通二模）如图所示，有界匀强磁场磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN为其左边界，磁场中放置一半径为R的圆柱形金属圆筒，圆心O到MN的距离OO₁=2R，圆筒轴线与磁场平行．圆筒用导线通过一个电阻r₀接地，最初金属圆筒不带电．现有范围足够大的平行电子束以速度v₀从很远处沿垂直于左边界MN向右射入磁场区，已知电子质量为m，电量为e．
（1）若电子初速度满足v0=

3eBR

m

，则在最初圆筒上没有带电时，能够打到圆筒上的电子对应MN边界上O₁两侧的范围是多大？
（2）当圆筒上电量达到相对稳定时，测量得到通过电阻r₀的电流恒为I，忽略运动电子间的相互作用，求此时金属圆筒的电势φ和电子到达圆筒时速度v（取无穷远处或大地电势为零）．
（3）在（2）的情况下，求金属圆筒的发热功率．

Answer 1

分析：（1）由牛顿第二定律可求得粒子的转动半径，画出粒子的运动轨迹可得出几何关系，从而确定出到圆筒上的电子对应MN边界上O₁两侧的范围；
（2）由欧姆定律可求得圆柱体与地面间的电势差，则可求得金属圆桶的电势；由动能定理可求得电子射到圆柱表面时的速度；
（3）由电流的微观定义可求得电子数，则可求得电子具有的总能量，由能量守恒可求得圆筒上的发热功率．

解答：解：（1）如图所示，设电子进入磁场回旋轨道半径为r，则  qv0B=m

v 2 0

r

   解得   r=3R   
大量电子从MN上不同点进入磁场轨迹如图，从O₁上方P点射入的电子刚好擦过圆筒O1O2=

(4R)2-(2R)2

=2

3

R   
O1P=O1O2+r=(3+2

3

)R   
同理可得到O₁下Q点距离O1Q=(2

3

-3)R．
（2）稳定时，圆柱体上电荷不再增加，与地面电势差恒为U，
U=Ir₀
电势 φ=-Ir₀   
电子从很远处射到圆柱表面时速度为v，有-eU=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

  
解得  v=

v 2 0 - 2eIr0 m

．
（3）电流为I，单位时间到达圆筒的电子数  n=

I

e

电子所具有总能量   E=n×

1

2

m

v

2 0

=

mI v 2 0

2e

    
消耗在电阻上的功率  P_r=I²r₀    
所以圆筒发热功率   P=

mI v 2 0

2e

-I2r0．

点评：带电粒子在磁场中的运动解题时常常要根据题意做出可能的轨迹图，然后再根据几何关系即可确定出要求的问题．