题目内容

（2013?常德模拟）如图所示，在xOy平面的第I象限内存在沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E；第Ⅱ象限内有半径为R的圆分别与x轴、y轴相切于P、Q 两点，圆内存在垂直于xOy平面向外的匀强磁场．一带正电的粒子（重力不计）以速率v0从P点射入磁场后恰好垂直y轴进入电场，最后从M（
3
R，0）点射出电场，出射方向与x轴正向夹角为α=600，求：
（1）带电粒子的比荷；
（2）磁感应强度的大小B；
（3）粒子从射入磁场到射出电场的时间．
分析：（1）粒子垂直于电场进入第一象限，粒子做类平抛运动，由到达M的速度方向可利用速度的合成与分解得知该点y方向的速度．结合牛顿第二定律求得粒子的比荷；
（2）根据运动学的公式，求出粒子进入电场时的位置，画出粒子运动的轨迹，根据图象中的几何关系求出粒子运动的半径，根据半径公式R=
mv
qB
求出磁感应强度；
（3）粒子在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，利用洛伦兹力提供向心力的公式，求出在磁场中运动的时间．利用平抛运动的规律求出粒子在电场中运动的时间．总时间是各段时间的和．
解答：解：（1）粒子垂直于电场进入第一象限，粒子做类平抛运动，设粒子在电场中运动的时间为t3，在x方向上：
3
R=v0t3，得：t3=
3
R
v0

y方向：vy=at3=
qE
m
?t3，
又由于：
vy
v0
=tanα=
3

联立以上3个公式解得：
q
m
=
v
2
0
ER

（2）沿电场线方向粒子的位移：y=
1
2
a
t
2
3
=
1
2
?
qE
m
?
t
2
3
=
1
2
?
v
2
0
ER
?E?
3R2
v
2
0
=
3R
2

所以粒子进入电场时的坐标N（0，
3R
2
），所以画出粒子运动的轨迹如图：
设粒子做圆周运动的半径为r，则r+rcosθ=
3R
2
，rsinθ=
R
2

解以上两个方程得：r=
5
6
R
洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力，得：qv0B=
m
v
2
0
r

所以：B=
mv0
qr
=
ER
v
2
0
?v0?
5
6R
=
5E
6v0

（3）粒子在磁场中运动的周期：T=
2πr
v0
=
5πR
3v0

设粒子在磁场中运动的时间为t1，在磁场和电场之间运动的时间为t2，
t1
T
=
β
360°
，β=π-arcsin
R
2
r
=π-arcsin
3
5
=180°-37°=153°
所以：t1=
153°
360°
?
5πR
3v0
=
17πR
24v0

粒子在磁场和电场之间运动的时间：t2=
R
2
v0
=
R
2v0

粒子从射入磁场到射出电场的时间：t=t1+t2+t3=
17πR
24v0
+
R
2v0
+
3
R
v0

答：（1）带电粒子的比荷
q
m
=
v
2
0
ER
；
（2）磁感应强度的大小B=
5E
6v0
；
（3）粒子从射入磁场到射出电场的时间t=
17πR
24v0
+
R
2v0
+
3
R
v0
．
点评：粒子在电场中运动偏转时，常用能量的观点来解决问题，有时也要运用运动的合成与分解．粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心、半径及运动时间的确定也是本题的一个考查重点，要正确画出粒子运动的轨迹图，能熟练的运用几何知识解决物理问题．
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19
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