Question

3．近几年来，我国生产的“蛟龙”号下潜突破7000m大关，我国的北斗导航系统也进入紧密的组网阶段，已知质量分布均匀的球壳对壳内任一质点的万有引力为零，将地球看做半径为R、质量分布均匀的球体．北斗导航系统中的一颗卫星的轨道距离地面的高度为h，“蛟龙”号下潜的深度为d，则该卫星所在处的重力加速度与“蛟龙”号所在处的重力加速度的大小之比为（　　）

• A． $\frac{R-d}{R+h}$
• B． （$\frac{R-d}{R+h}$）²
• C． $\frac{{R}^{2}}{（R+h）^{2}（R-d）}$
• D． $\frac{（R-d）（R+h）}{{R}^{2}}$

Answer 1

分析 根据题意知，地球表面的重力加速度等于半径为R的球体在表面产生的加速度，深度为d的地球内部的重力加速度相当于半径为R-d的球体在其表面产生的重力加速度，根据地球质量分布均匀得到加速度的表达式，再根据半径关系求解深度为d处的重力加速度与地面重力加速度的比值．卫星绕地球做圆周运动时，运用万有引力提供向心力可以解出高度为h处的加速度，再求其比值．

解答 解：令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：$g=\frac{GM}{{R}^{2}}$，
由于地球的质量为：$M=\frac{4}{3}π{R}^{3}ρ$，
所以重力加速度的表达式可写成：$g=\frac{4}{3}πGρR$．
根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，固在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于（R-d）的球体在其表面产生的万有引力，故井底的重力加速度为：$g′=\frac{4}{3}πGρ（R-d）$，
所以有：$\frac{g′}{g}=\frac{R-d}{R}$．
根据万有引力提供向心力为：$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=ma$，
“天宫一号”的加速度为：$a=\frac{GM}{（R+h）^{2}}$，
所以有：$\frac{a}{g}=\frac{{R}^{2}}{（R+h）^{2}}$，
得：$\frac{a}{g′}=\frac{{R}^{3}}{（R+h）^{2}（R-d）}$，故C正确，ABD错误
故选：C

点评 抓住在地球表面重力和万有引力相等，在地球内部，地球的重力和万有引力相等，要注意在地球内部距离地面d处所谓的地球的质量不是整个地球的质量而是半径为（R-d）的球体的质量m．