题目内容
3.近几年来,我国生产的“蛟龙”号下潜突破7000m大关,我国的北斗导航系统也进入紧密的组网阶段,已知质量分布均匀的球壳对壳内任一质点的万有引力为零,将地球看做半径为R、质量分布均匀的球体.北斗导航系统中的一颗卫星的轨道距离地面的高度为h,“蛟龙”号下潜的深度为d,则该卫星所在处的重力加速度与“蛟龙”号所在处的重力加速度的大小之比为( )A. | $\frac{R-d}{R+h}$ | B. | ($\frac{R-d}{R+h}$)2 | C. | $\frac{{R}^{2}}{(R+h)^{2}(R-d)}$ | D. | $\frac{(R-d)(R+h)}{{R}^{2}}$ |
分析 根据题意知,地球表面的重力加速度等于半径为R的球体在表面产生的加速度,深度为d的地球内部的重力加速度相当于半径为R-d的球体在其表面产生的重力加速度,根据地球质量分布均匀得到加速度的表达式,再根据半径关系求解深度为d处的重力加速度与地面重力加速度的比值.卫星绕地球做圆周运动时,运用万有引力提供向心力可以解出高度为h处的加速度,再求其比值.
解答 解:令地球的密度为ρ,则在地球表面,重力和地球的万有引力大小相等,有:$g=\frac{GM}{{R}^{2}}$,
由于地球的质量为:$M=\frac{4}{3}π{R}^{3}ρ$,
所以重力加速度的表达式可写成:$g=\frac{4}{3}πGρR$.
根据题意有,质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零,固在深度为d的地球内部,受到地球的万有引力即为半径等于(R-d)的球体在其表面产生的万有引力,故井底的重力加速度为:$g′=\frac{4}{3}πGρ(R-d)$,
所以有:$\frac{g′}{g}=\frac{R-d}{R}$.
根据万有引力提供向心力为:$G\frac{Mm}{(R+h)^{2}}=ma$,
“天宫一号”的加速度为:$a=\frac{GM}{(R+h)^{2}}$,
所以有:$\frac{a}{g}=\frac{{R}^{2}}{(R+h)^{2}}$,
得:$\frac{a}{g′}=\frac{{R}^{3}}{(R+h)^{2}(R-d)}$,故C正确,ABD错误
故选:C
点评 抓住在地球表面重力和万有引力相等,在地球内部,地球的重力和万有引力相等,要注意在地球内部距离地面d处所谓的地球的质量不是整个地球的质量而是半径为(R-d)的球体的质量m.
练习册系列答案
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