Question

19．三个半径为0.3m的转动轮构成如图所示的传送带，传送带以5m/s的速度顺时针转动，其中传送带的倾斜部分AB与水平方向成30°的倾角，皮带AB部分长为7m，传送带的水平部分离地高度为4.5m，在传送带的右侧有一个高为0.5m的水平转盘，能以竖直轴MN水平转动，转盘上距离转轴0.2m处有个缺口P．现将质量为2kg的物块无初速度地放在A处，物块与皮带间的动摩擦因数为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，物块通过转动轮B时可认为其速度只改变方向不改变大小．
求：（1）物块A在传送带的倾斜部分AB运动的时间；
（2）若物块A由传送带的倾斜部分运动到水平部分B点时时，传送带的转动方向突然改变，速度大小保持不变，为使物块A恰能从C处平抛离开传送带，传送带的水平部分BC需要多长；
（3）在（2）的条件下，物块A从C处平抛时，转盘上的缺口P（缺口略大于物体A）恰好转到图示位置与物块A做平抛运动的轨迹在同一竖直平面内，为使物块A能顺利通过缺口，水平转盘的角速度及转轴MN与O点间的水平距离需满足的条件．

Answer 1

分析 （1）对物块进行受力分析，根据牛顿第二定律求出物块加速过程中的加速度大小，由位移公式求出选手加速的位移和时间；与传送带的长度比较，看是否有做匀速直线运动的可能；若有，由匀速直线运动的位移公式求出时间；两段时间的和即为所求；
（2）由题意得物块在C处恰能平抛的条件为只受重力，由此求出物块在C点的速度，然后由位移速度公式即可求出传送带的长度；
（3）结合平抛运动的知识求出落地点与C点的水平距离x，然后结合运动学的公式即可求出水平转盘的角速度及转轴MN与O点间的水平距离需满足的条件．

解答 解：（1）设物块加速到与传送带速度相同时运动的位移为x
根据运动学公式：2ax=v²①
沿传送带AB面，应用牛顿第二定律：f-mgsin30°=ma②
垂直于传送带AB面，受力平衡：${F_N}=mgcos{30^o}$③
根据滑动摩擦力的定义：f=μF_N④
联立①②③④可得：a=2.5m/s²，x=5m
因为x＜L且物块与传送带的动摩擦因数μ＞tan30°，所以物块在传送带AB上先做初速度为零的匀加速直线运动，而后做匀速运动到达B点．
物块做匀加速直线运动的时间t₁满足：${t_1}=\frac{v}{a}=2s$
物块做匀速直线运动的时间t₂满足：${t_2}=\frac{L-x}{v}=0.4s$
在传送带AB上运动的总时间为：t_总=t₁+t₂=2.4s
（2）物块在C处恰能平抛的条件为只受重力，且重力全部用来提供物块在该位置所需向心力
即：$mg=m\frac{v^2}{R}$，所以${v_C}=\sqrt{gR}=\sqrt{3}m$
根据物块在水平传送带上的受力，有μmg=ma'，所以$a'=μg=5\sqrt{3}m/{s^2}$
根据$2a'{x_{BC}}={v_B}^2-{v_C}^2$，可得：${x_{BC}}=\frac{{11\sqrt{3}}}{15}m$
（3）设物块做平抛运动的时间为t，
根据$H-h=\frac{1}{2}g{t^2}$，可得：$t=\sqrt{\frac{2（H-h）}{g}}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}s$
物块运动到水平转盘所在水平面所走过的水平位移满足：$x'={v_C}t=\frac{{2\sqrt{15}}}{5}m$
此过程中为使物块能顺利穿过缺口，转轴MN与O点间的水平距离X及水平转盘转动的角速度ω需要满足的条件：
当$X=x'+r=\frac{{2\sqrt{15}+1}}{5}m$时，$ω=\frac{（2n+1）π}{t}=\frac{\sqrt{5}}{2}（2n+1）π$rad/s，其中n=0，1，2，3…
当$X=x'-r=\frac{{2\sqrt{15}-1}}{5}m$时，$ω=\frac{2nπ}{t}=\sqrt{5}nπ$rad/s其中n=1，2，3…
答：（1）物块A在传送带的倾斜部分AB运动的时间是2.4s；
（2）为使物块A恰能从C处平抛离开传送带，传送带的水平部分BC需要长$\frac{11\sqrt{3}}{15}$m；
（3）在（2）的条件下，为使物块A能顺利通过缺口，水平转盘的角速度及转轴MN与O点间的水平距离需满足的条件为：当$X=x'+r=\frac{{2\sqrt{15}+1}}{5}m$时，$ω=\frac{\sqrt{5}}{2}（2n+1）π$rad/s，其中n=0，1，2，3…
当$X=x'-r=\frac{{2\sqrt{15}-1}}{5}m$时，$ω=\sqrt{5}nπ$rad/s其中n=1，2，3…

点评 解决本题的关键理清物块的运动情况，把握运动的过程，然后结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解；同时要考虑圆周运动的周期性．