Question

在图（1）中A和B是真空中的两块面积很大的平行金属板，A、B间的电压U_AB随时间变化的规律如图（2）所示，在图（1）中O点到A和B的距离皆为l，在O处不断地产生电荷量为q、质量为m的带负电微粒，不计重力，不考虑微粒之间的相互作用，这种微粒产生后，从静止出发在电场力的作用下运动，设微粒一旦碰到金属板，就附在板上不再运动．且其电量同时消失，不影响A、B板间的电势．已知交变电压的周期T=6.0×10^-3s．正电压为U₀，负电压为-U₀，且U₀=6.0×10²V，微粒电荷量q=2.0×10^-7C，质量为m=1.0×10^-9kg，l=0.3m．试求：
（1）在t=0时刻从静止出发的微粒，会在t₁时刻到达极板，求t₁的值？
（2）若在t=0到t=T/2这段时间内的某一时刻t₂产生的微粒刚好不能到达A板，求t₂的值？
（3）求t₂时刻产生的微粒到达B板所需的时间？

Answer 1

分析：（1）根据牛顿第二定律求出粒子的加速度，通过位移时间公式求出粒子到达极板的时间．
（2）在t=0到t=

T

2

这段时间内的t₂时刻产生的微粒刚好不能到达A板，在此过程中，经历了匀加速直线运动和匀减速直线运动，抓住位移之和等于l，以及两段过程速度的关系，求出不能到达A板的时间．
（3）再经△t₃=

T

2

-△t2时间微粒向左匀加速运动，其位移为s3=

1

2

a2△

t

2 3

，粒子再经△t₄微粒减速运动S₄碰到B板．s₄=2l-S₃．由运动学公式：s4=a2△t3?△t4-

1

2

a1

t

2 4

代入数据可解得△t₄，则微粒运动到B板的总时间为t=△t₁+△t₂+△t₃+△t₄．

解答：解：
（1）当电压为U₀时，微粒的加速度a1=

U0q

2lm

=1×105m/s2
微粒向A板做匀加速运动，位移l=

1

2

a1

t

2 1

解得t1=

6

×10-3s＜

T

2

所以在t=0时刻从静止出发的微粒，会在

6

×10-3s时刻到达A极板．
（2）当电压为2U₀时，微粒的加速度a2=

2U0q

2lm

=2×105m/s2
微粒先经△t₁时间加速，再经△t₂时间恰好到达A板，速度减为零．位移分别为S₁、S₂
加速的位移s1=

1

2

a1△

t

2 1

减速的加速度为加速的加速度的2倍，所以减速的位移s2=

1

2

S1
加速的末速度等于减速的初速度，所以a₂△t=a₁△t₁
又因为l=S₁+S₂
代入数据，得：△t1=2×10-3s
△t2=1×10-3s
所以：t2=

T

2

-△t1=3×10-3-2×10-3=1×10-3s
（3）再经△t3=2×10-3s微粒向左匀加速运动，其位移为s3=

1

2

a2△

t

2 3

=0.4m
粒子再经△t₄微粒减速运动S₄碰到B板．s₄=2l-S₃=0.2m
由运动学公式：s4=a2△t3?△t4-

1

2

a1

t

2 4

代入数据，得：△t4=(4-2

3

)×10-3s=0.54×10-3s．
故微粒运动到B板的总时间t=△t1+△t2+△t3+△t4=5.54×10-3s
答：（1）在t=0时刻从静止出发的微粒，会在

6

×10-3s时刻到达A极板．
（2）若在t=0到t=

T

2

这段时间内的某一时刻t₂产生的微粒刚好不能到达A板，则t2=1×10-3s．
（3）t₂时刻产生的微粒到达B板所需的时间为5.54×10^-3s．

点评：解决本题的关键理清粒子的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解．