Question

18．一颗人造卫星的质量为m，离地面的高度为h，卫星做匀速圆周运动，已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g．
（1）用题目中的已知量表示出引力常量和地球质量的乘积GM；
（2）求卫星的速率；
（3）求卫星环绕地球运行的周期．

Answer 1

分析 （1）地球表面的物体所受重力和物体受到地球的万有引力相等，由此得出GM；
（2）（3）卫星运行时受到的万有引力提供向心力，根据圆周运动的物理量之间的关系可得卫星的线速度和周期．

解答 解：（1）设地球质量为M，人造地球卫星的质量为 m．在地球表面由重力等于万有引力得：
mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$      ①
所以：GM=gR²
（2）对人造地球卫星受到地球的万有引力提供圆周运动的向心力得：
G$\frac{Mm}{{（R+h）}^{2}}$=$\frac{m{v}^{2}}{R}$
所以：v=$\sqrt{\frac{GMR}{（R+h）^{2}}}=\sqrt{\frac{g{R}^{3}}{（R+h）^{2}}}$
（3）对人造地球卫星受到地球的万有引力提供圆周运动的向心力得：
G$\frac{Mm}{{（R+h）}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}（R+h）$  ②
由①②解得：$T=2π\sqrt{\frac{{{{（R+h）}^3}}}{{g{R^2}}}}$
答：（1）表示出引力常量和地球质量的乘积GM=gR²；
（2）卫星的速率是$\sqrt{\frac{g{R}^{3}}{{（R+h）}^{2}}}$；
（3）人造卫星绕地球的运行周期是$2π\sqrt{\frac{{（R+h）}^{3}}{g{R}^{2}}}$．

点评 万有引力定律常用方程有（1）星球表面的重力和万有引力相等；（2）环绕天体受到的万有引力提供向心力．这是解决这类问题常用的方程，要注意环绕天体运动半径的表述．