Question

如图所示，坐标系xOy在竖直平面内，y轴沿竖直方向，第二、三和四象限有沿水平方向、垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B．第四象限的空间内有沿x轴正方向的匀强电场，场强为E．一个带正电荷的小球从图中x轴上的M点，沿着与水平方向成θ=30°角的斜向下的直线做匀速运动，经过y轴上的N点进入x＜0的区域内．要使小球进入x＜0区域后能在竖直面内做匀速圆周运动，需在x＜0区域内另加一匀强电场．（已知重力加速度为g）
（1）求在x＜0区域内所加匀强电场E₁的大小和方向；
（2）若带电小球做圆周运动通过y轴上的P点（P点未标出），求小球从N点运动到P点所用的时间t；
（3）若在第一象限加一匀强电场，可使小球从P点沿直线运动到M点，求此电场强度的最小值E₂．

Answer 1

分析：（1）由题意，小球沿直线MN做匀速运动，分析受力，根据平衡条件可得到电场力qE与重力mg的关系；要使小球进入x＜0区域后能在竖直面内做匀速圆周运动，球受的重力mg必与电场力qE₁是一对平衡力，再由平衡条件得到qE₁与重力的关系，即可求出匀强电场E₁的大小和方向；并求出小球在第四象限运动的速度．
（2）小球从N点运动到P点过程，做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律和圆周运动的公式可求得周期，作出小球的轨迹，由几何知识求得轨迹的圆心角，即可求出小球从N点运动到P点所用的时间t．
（3）小球从P点沿直线运动到M点，当电场力与PM连线垂直向上时，电场力最小，场强也最小，而且合力沿PM方向，由平行四边形定则可求出此电场强度的最小值E₂．

解答：解：（1）小球在MN段受力如图．由题意，小球在MN段球做匀速直线运动，所以球受到如图所示的三个力而平衡所以有：mgtan30°=qE   ①
        qvBsin30°=qE  ②
要使小球进入x＜0区域后能在竖直面内做匀速圆周运动，球受的重力mg必与电场力qE₁是一对平衡力，则有
  qE₁=mg    ③
联立①③解得：E₁=

3

E，方向竖直向上．
由①②得，v=

2E

B

  ④
（2）球在磁场中做匀速圆周运动的周期是：T=

2πR

v

⑤
而qvB=m

v2

R

，⑥
由④⑤⑥解得T=

2 3 πE

Bq

小球从N点运动到P点所用的时间t为 t=

2

3

T=

4 3 πE

3Bq

（3）小球从P点沿直线运动到M点，当电场力与PM连线垂直向上时，电场力最小，则有
   sin60°=

qE2

mg

解得，E₂=

3

2

E
答：
（1）在x＜0区域内所加匀强电场E₁的大小为E₁=

3

E，方向竖直向上；
（2）小球从N点运动到P点所用的时间t是

4 3 πE

3Bq

；
（3）要使小球从P点沿直线运动到M点，电场强度的最小值E₂是

3

2

E．

点评：本题的解题关键是抓住小球做匀速直线运动和匀速圆周运动的条件，分析受力情况，画出运动轨迹．