Question

一条宽度为L的河，水流速度为，已知船在静水中速度为，那么：
（1）怎样渡河时间最短？
（2）若，怎样渡河位移最小？
（3）若，怎样渡河船漂下的距离最短？

Answer 1

（1）船头与河岸垂直，
（2）船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ，
（3）船头与河岸的夹角应为

：（1）小船过河问题，可以把小船的渡河运动分解为它同时参与的两个运动，一是小船运动，一是水流的运动，船的实际运动为合运动。如图4所示。设船头斜向上游与河岸成任意角θ。这时船速在垂直于河岸方向的速度分量为，渡河所需要的时间为，可以看出：L、v_船一定时，t随sinθ增大而减小；当时，（最大）。所以，船头与河岸垂直。
 
图4
（2）如图5所示，渡河的最小位移即河的宽度。为了使渡河位移等于L，必须使船的合速度v的方向与河岸垂直，即使沿河岸方向的速度分量等于0。这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ，所以有，即。
 
图5
因为，所以只有在时，船才有可能垂直河岸渡河。
（3）若，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？
如图6所示，设船头v_船与河岸成θ角。合速度v与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v_水的矢尖为圆心，v_船为半径画圆，当v与圆相切时，α角最大，根据
 
图6
船头与河岸的夹角应为，船沿河漂下的最短距离为：

此时渡河的最短位移：