题目内容
【题目】如图所示为“过山车”模型。其中ab段位倾斜平直轨道,cdc '段位环形轨道,c和c'为最低点、d为最高点,半径为R,bc段位水平轨道与倾斜轨道、环形轨道平滑连接。无限长的水平轨道c'e与环形轨道相切于c'点。刚性小球A从倾斜轨道离水平面高度H处静止释放,与另一静置于水平轨道上的刚性小球B发生弹性正碰。已知B球质量是A球的4倍,整个装置处于竖直平面内,忽略一切摩擦阻力。(重力加速度为g)
(1)要使A球能够沿着轨道运动与B球碰撞,对释放点高度有何要求?
(2)要使两球在轨道上至少发生两次碰撞,对释放点高度H有何要求?
【答案】(1) (2)
或
【解析】
(1)要使小球能够通过d点,则需要:
联立以上两式,解得
(2)设碰撞前A球速度为v,碰撞为弹性碰撞,则碰撞前后两球机械能守恒、动量守恒,有:
联立以上两式,解得
.
因|vA|> |vB|,故要求A球能够从环形轨道再次返回即可追上B球发生第二次碰撞,则
情形一,A球回到环形轨道时上升最大高度不超过R,即可返回,有:
联立式得
结合(1)中结论,得H取值范围一
情形二,A球能再次通过环形轨道最高点,并回到斜面上之后再次返回、通过环形轨道,追上B球,有
联立得H取值范围二
故释放点高度H的取值范围为
或
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