Question

【题目】如图所示为“过山车”模型。其中ab段位倾斜平直轨道，cdc '段位环形轨道，c和c'为最低点、d为最高点，半径为R，bc段位水平轨道与倾斜轨道、环形轨道平滑连接。无限长的水平轨道c'e与环形轨道相切于c'点。刚性小球A从倾斜轨道离水平面高度H处静止释放，与另一静置于水平轨道上的刚性小球B发生弹性正碰。已知B球质量是A球的4倍，整个装置处于竖直平面内，忽略一切摩擦阻力。(重力加速度为g)

(1)要使A球能够沿着轨道运动与B球碰撞，对释放点高度有何要求?

(2)要使两球在轨道上至少发生两次碰撞，对释放点高度H有何要求?

Answer 1

【答案】(1) (2) 或

【解析】

(1)要使小球能够通过d点，则需要:

联立以上两式，解得

(2)设碰撞前A球速度为v，碰撞为弹性碰撞，则碰撞前后两球机械能守恒、动量守恒，有:

联立以上两式，解得

.

因|vA|> |vB|,故要求A球能够从环形轨道再次返回即可追上B球发生第二次碰撞，则

情形一，A球回到环形轨道时上升最大高度不超过R,即可返回，有:

联立式得

结合(1)中结论，得H取值范围一

情形二，A球能再次通过环形轨道最高点，并回到斜面上之后再次返回、通过环形轨道，追上B球，有

联立得H取值范围二

故释放点高度H的取值范围为

或