Question

一玩具“火箭”由质量为m_l和m₂的上、下两部分和压在中间的一根短而硬（即劲度系数很大）的轻质弹簧组成．起初，弹簧被压紧后锁定，具有的弹性势能为E₀，通过遥控器可在瞬间对弹簧解除锁定，使弹簧迅速恢复原长．现使该“火箭”位于一个深水池面的上方（可认为贴近水面），释放同时解除锁定．于是，“火箭”的上部分竖直升空，下部分竖直钻入水中．设火箭本身的长度与它所能上升的高度及钻入水中的深度相比，可以忽略，但体积不可忽略．试求．
（1）“火箭”上部分所能达到的最大高度（相对于水面）：
（2）若上部分到达最高点时，下部分刚好触及水池底部，那么，此过程中，“火箭”下部分克服水的浮力做了多少功？（不计水的粘滞阻力）

Answer 1

分析：（1）解除锁定时，火箭和弹簧组成的系统动量守恒、机械能守恒，根据两大守恒定律列式求出弹簧刚伸长至原长的时刻，火箭上部分的速度的大小，再对火箭上部分，根据机械能守恒定律或运动学公式求最大高度H₁；
（2）由运动学公式求出上部分到达最高点所用的时间，运用平均速度求出水池的深度，根据功的计算公式求解“火箭”下部分克服水的浮力做的功．

解答：解：（1）“火箭”整体（含弹簧）在弹簧解除锁定的瞬间，弹簧弹力远大于箭体重力，故动量守恒：
    m₁v₁-m₂v₂=0   ①
同时机械能守恒：

1

2

m1

v

2 1

+

1

2

m2

v

2 2

=E₀  ②
∴v₁=

2m2E0 m1(m1+m2)

  ③
 v₂=

2m1E0 m2(m1+m2)

  ④
∴“火箭”上部分所能达到的最大高度为：H₁=

v 2 1

2g

=

m2E0

m1g(m1+m2)

 ⑤
（2）“火箭”上升的时间为：t=

v1

g

  ⑥
水池深度为：H₂=

v2t

2

   ⑦
“火箭”下部分克服水的浮力共做功：
  W_F=m₂gH₂+

1

2

m2

v

2 2

⑧
联立以上各式解得：W_F=E₀    ⑨
答：
（1）“火箭”上部分所能达到的最大高度为

m2E0

m1g(m1+m2)

；
（2）若上部分到达最高点时，下部分刚好触及水池底部，那么，此过程中，“火箭”下部分克服水的浮力做的功为E₀．

点评：本题要抓住解锁过程，系统的动量守恒和机械能守恒，按程序法进行分析，加以讨论分析，即可正确解答．