Question

如图所示，一工件置于水平地面上，其AB段为一半径R=1.0m的光滑圆弧轨道，BC段为一长度L=0.5m的粗糙水平轨道，二者相切于B点，整个轨道位于同一竖直平面内，P点为圆弧轨道上的一个确定点．一可视为质点的物块，其质量m=0.2Kg，与BC间的动摩擦因数μ₁=0.4．工件质量M=0.8Kg，与地面间的动摩擦因数μ₂=0.1．（取g=10m/s²）
（1）若工件固定，将物块由P点无初速度释放，滑至C点时恰好静止，求P、C两点间的高度差h．
（2）若将一水平恒力F作用于工件，使物块在P点与工件保持相对静止，一起向左做匀加速直线运动．
①求F的大小．
②当速度v=5m/s时，使工件立刻停止运动（即不考虑减速的时间和位移），物块飞离圆弧轨道落至BC段，求物块的落点与B点间的距离．

Answer 1

解（1）物块从P点下滑经B点至C点的整个过程，根据动能定理得：
mgh-μ₁mgL=0
代入数据得：
h=0.2m…①
（2）①设物块的加速度大小为a，P点与圆心的连线与竖直方向间的夹角为θ，由几何关系可得
cosθ=

R-h

R

…②
根据牛顿第二定律，对物体有
mgtanθ=ma…③
对工件和物体整体有
F-μ₂（M+m）g=（M+m）a…④
联立①②③④式，代入数据得
F=8.5N…⑤
②设物体平抛运动的时间为t，水平位移为x₁，物块落点与B间的距离为 x₂，由运动学公式可得
h=

1

2

gt2…⑥
x₁=vt…⑦
x₂=x₁-Rsinθ…⑧
 联立①②⑥⑦⑧式，代入数据得
x₂=0.4m
答：（1）P、C两点间的高度差是0.2m
（2）F的大小是8.5N
（3）物块的落点与B点间的距离是0.4m