Question

13．如图所示，在xOy平面内分布着沿y轴正向的匀强电场，虚线是半径r=$\sqrt{2}$a、圆心在（3a，0）的圆．质量为m、电荷量为+q（q＞0）的粒子从原点O以速度v₀沿x轴正向射出，其运动轨迹恰好与圆相切于点P．不计粒子的重力，求：
（1）粒子在P点的速度方向与x轴正向的夹角；
（2）匀强电场的场强E的大小．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中做类平抛运动，应用类平抛运动规律求出其轨迹方程，然后根据题意求出与圆的交点，再求出速度方向与x轴正方向的夹角．
（2）应用类平抛运动规律求出电场强度．

解答 解：如下图：过B点作x轴垂线与圆交于P点，过P点做圆G 的切线交x轴于A点；由长度关系可证三角形BPG为等腰直角三角形，所以可得OA=AB=BP；由类平抛运动速度的延长线过水平位移的中点，可知P点即为粒子运动轨迹与圆的交点．
（1）粒子做类平抛运动，由题意可知，
粒子运动轨迹恰好与圆相切于点P，粒子运动轨迹如图所示：

则，粒子的水平位移：x=2a，
由勾股定理得：y²+（3a-2a）²=（$\sqrt{2}$a）²，解得：y=a，
粒子在P点的速度方向与x轴正向的夹角的正切值：tanθ=$\frac{y}{\frac{x}{2}}$=$\frac{a}{\frac{2a}{2}}$=1，θ=45°；
（2）粒子做类平抛运动，
水平方向：x=2a=v₀t，
竖直方向：y=a=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t²，
解得：E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qa}$；
答：（1）粒子在P点的速度方向与x轴正向的夹角为45；
（2）匀强电场的场强E的大小为$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qa}$．

点评 本题难度较大，分析清楚粒子运动过程、作出粒子运动轨迹是解题的关键，应用类平抛运动规律与几何知识可以解题；作出粒子的运动轨迹，轨迹与圆相切与P点，连切点P和圆心，圆心与P的连线是圆的半径，与切线垂直，平抛运动切线的延长线过水平位移的中点，圆的切线与圆半径垂直，这是圆与运动轨迹的共同的切线．