Question

4．如图所示的竖直直角坐标平面xoy内有两条过原点的射线OA和OB与x轴的正半轴和负半轴都成45°角，在x轴上方∠AOB区域间分布着方向垂直纸面向外大小为B₁的匀强磁场，在x轴的下方存在着方向垂直纸面向外大小为B₂=$\frac{mv}{qL}$的匀强磁场，现有一质量为m，带电量为+q的带电粒子以速度v从位于直线OA上的P（L，L）点竖直向下射出，经过测量发现，此粒子每经过相同的时间T会回到P点，（不计粒子重力）
（1）求匀强磁场$\frac{B_1}{B_2}$之比；
（2）求粒子相邻两次经过P点的时间间隔T；
（3）若保持B₂不变，而∠AOB间的磁场方向不变，现从P点向下发射两个速度在0-$\frac{v}{2}$范围内与原来相同的带电粒子（不计两个粒子间的相互作用力），它们进入∠AOB间的匀强磁场后都要经过P点，求∠AOB间的磁感应强度的B'₁的大小．
（4）请判断：题（3）中若从P点向下发射的是一群速度在0-$\frac{v}{2}$范围内与原来比荷相同的带电粒子（不计粒子间的相互作用力）它们进入B₁′的匀强磁场后能否都经过P点．（不需要写理由）

Answer 1

分析 （1）粒子从P点向下，运动过程的轨迹图画出来，根据对称性，在上下两磁场中匀速圆周运动的半径相等
（2）求出粒子在上下磁场中的轨道半径，圆周运动的规律求在磁场中的时间，在磁场外用匀速运动规律求时间
（3）画出粒子运动的轨迹，通过几何关系可知在上面磁场中圆周运动半径是下方磁场中圆周运动半径的2倍，粒子在下方磁场中运动半个周期，在上方磁场中运动四分之一圆周，再由半径公式得出磁感应强度之间的关系，从而求出上方磁场的磁感应强度
（4）同（3）分析得出在$0-\frac{v}{2}$范围的所有粒子运动只是轨道不同，运动的规律一样，从P先向下匀速，再圆周运动半周，然后匀速，进入第一象限磁场做四分之一圆周，所以都能到P点

解答 解：（1）由P点射出的粒子先做匀速直线运动进入匀强磁场${B}_{2}^{\;}$中，设匀速圆周运动的半径为${R}_{2}^{\;}$，
由$qv{B}_{2}^{\;}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{{R}_{2}^{\;}}$得：${R}_{2}^{\;}=\frac{mv}{q{B}_{2}^{\;}}$=L
粒子每经过相同时间T会回到P点必满足在匀强磁场${B}_{1}^{\;}$中半径${R}_{1}^{\;}$大小为：
$qv{B}_{1}^{\;}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{{R}_{1}^{\;}}$
得：${R}_{1}^{\;}=\frac{mv}{q{B}_{1}^{\;}}=L$
$\frac{{B}_{1}^{\;}}{{B}_{2}^{\;}}=1$
（2）带电粒子在无匀强磁场运动的时间为：${t}_{1}^{\;}=\frac{2L}{v}$
在匀强磁场${B}_{2}^{\;}$中运动时间为：${t}_{2}^{\;}=\frac{πL}{v}$
在匀强磁场${B}_{1}^{\;}$中运动时间为：${t}_{3}^{\;}=\frac{πL}{v}$
故粒子相邻两次经过P点的时间间隔为：$T={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}+{t}_{3}^{\;}=\frac{2L}{v}+\frac{2πL}{v}$
（3）从P点向下发射速度为${v}_{x}^{\;}$满足范围为$0-\frac{v}{2}$与原来相同的带电粒子，由于保持${B}_{2}^{\;}$不变，当速度v时半径为L，则速度为$0-\frac{v}{2}$的粒子必定经过半个周期后在x轴正半轴间返回∠AOB间磁场，如图2所示，进入${B}_{1}^{'}$匀强磁场后都要经过P点，则在${B}_{1}^{'}$磁场中运动的半径为${B}_{2}^{\;}$磁场中运动半径的两倍，即$2\frac{m{v}_{x}^{\;}}{q{B}_{2}^{\;}}=\frac{m{v}_{x}^{\;}}{q{B}_{1}^{'}}$
得：$\frac{{B}_{1}^{'}}{{B}_{2}^{\;}}=\frac{1}{2}$
即：${B}_{1}^{'}=\frac{{B}_{2}^{\;}}{2}=\frac{mv}{2qL}$
（4）能
答：（1）匀强磁场$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}$之比为$\frac{{B}_{1}^{\;}}{{B}_{2}^{\;}}=1$
（2）粒子相邻两次经过P点的时间间隔$T=\frac{2L}{v}+\frac{2πL}{v}$
（3）∠AOB间的磁感应强度的B′₁的大小为${B}_{1}^{'}=\frac{mv}{2qL}$
（4）能

点评 根据粒子在洛伦兹力作用下做圆周运动，依据几何特性作图时解题关键，本题第三问、第四问重点考查作图能力，画轨迹是解决这类问题的关键．