Question

如图所示光滑水平面有一长木板其质量为m_A=1kg，长木板两端有两小物块．其质量分别为m_B=2kg，m_c=5kg，已知B与A之间、C与A之间的动摩擦因数均为μ=O.5，现物块C以初速度V．=8m/s向左运动，最终物体C恰好没有与B相碰（g=10m/s²，B、C均可看成质点）
（1）在此过程中A的最大速度是多大？
（2）此过程中内能增加了多少？
（3）为使B、C不相撞，木板的长度至少为多长？

Answer 1

分析：（1）通过A、B对长木板摩擦力的大小比较，确定长木板A是否和B一起做加速运动，分别求得A与C的加速度，计算出A的最大速度；
（2）最终三者的共同速度由动量守恒求得共同的速度，内能的增加量等于系统减少的动能；
（3）结合牛顿第二定律和运动学公式求出C与长木板相对静止时，它们的相对位移的大小；全过程中A与B的相对位移，为使B、C不相撞，木板的最小长度为B、C相对A的位移的和．

解答：解：（1）C的加速度为a_c=μg=5 m/s²；
若A、B之间不滑动，则A、B一起加速运动，加速度为aAB=

μmCg

mA+mB

=

0.5×5×10

1+2

=

25

3

＞μg=5
故假设不成立，即A、B之间存在相对滑动．这样A的加速度aA=

μg(mC-mB)

mA

=

0.5×10×(5-2)

1

m/s2=15m/s²，方向向右；
B的加速度为a_B=μg=5m/s²，方向向右；
设A、C经过时间t后速度均变为v，则v=8-5t=15t，所以t=0.4 s；此时的速度即为A的最大速度，故v=6 m/s；
（2）最终三者的共同速度由动量守恒m_cv₀=（m_A+m_B+m_C）v
可得：v=5 m/s，
故内能的增加量为△E=

1

2

m_Cv₀²-

1

2

（m_A+m_B+m_C）v²=60J；
（3）首先是C与A的相对滑动，A、C之间相对滑动的距离s_CA=s_C-s_A=v₀t-

1

2

a_Ct²-

1

2

a_At²=1.6 m；
此时A、C不再相对滑动，
当A与C相对静止后，B与A仍有相对滑动，B与A的总的相对滑动距离可由能量守恒求得：
Q=μm_Bgs_AB+μm_Cgs_AC=60得：s_AB=2 m；
所以木板的最小长度为L=s_AB+s_AC=3.6 m
答：（1）在此过程中A的最大速度是6m/s；
（2）此过程中内能增加了60J；
（3）为使B、C不相撞，木板的长度至少为3.6m．

点评：解决本题的关键能够正确地受力分析，结合牛顿第二定律和运动学公式，以及动量守恒定律进行求解．该题的过程多，难度大．