题目内容
11．
如图，在坐标系xOy的第一象限内有以O为圆心，半径分别为R、2R、3R的圆弧ab、cd、ef及两坐标轴围成的I、II、III三个区域，I、II区域中存在着磁感应强度大小均为B0的匀强磁场，其中I区域的磁场方向垂直坐标平面向里、II区域的磁场方向垂直坐标平面向外，一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，以速度v=$\frac{q{B}_{0}R}{m}$从坐标原点O沿+x方向射入磁场，不计粒子重力．（1）求粒子与弧ab交点的坐标值x1、y1；
（2）求粒子在I、II两区域中运动的总时间t；
（3）若III区域中也存在着垂直坐标平面的匀强磁场，为使粒子不从弧ef上射出磁场，求该区域磁场方向机磁感应强度Bx的取值范围．
分析 （1）根据洛伦兹力提供向心力得到半径公式r=$\frac{mv}{qB}$，再与题中已知速度v结合求出粒子半径r，根据几何关系结合即可求出粒子与弧ab交点的横纵坐标；
（2）画出粒子运动轨迹过程图，利用所转过的弧长除以速度大小即可求出粒子运动时间；
（3）由于磁场方向不确定，故存在两种情况，分情况讨论，当III区域的磁场方向垂直坐标平面向外和垂直坐标平面向里两种情况，找到临界条件，即轨迹与III区域的外边界相切，用洛伦兹力提供向心力与临界几何关系结合即可求出磁感应强度Bx的取值范围．
解答 解：（1）粒子在磁场中运动时，根据牛顿第二定律得：qvB0=m$\frac{{v}^{2}}{r}$①
根据已知：v=$\frac{q{B}_{0}R}{m}$ ②
联立①②式得：r=R
即粒子运动轨迹与弧ab的交点A及a、O组成一正三角形，如图1所示，
故A点的横、纵坐标分别为：
x1=Rcos30°
y1=Rsin30°
解得：x1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R
y1=$\frac{1}{2}$R
（2）粒子在I区域的轨迹弧长对应的圆心角为$\frac{π}{3}$，进入II区域后，偏转方向改变，轨道半径不变．
轨迹与弧cd的交点C与A、O在一条直线上，运动轨迹如图2所示．
粒子在I、II两区域的运动轨迹对应的圆心角相等，故运动时间相等
粒子从O到C的运动时间
t=$\frac{2r\frac{π}{3}}{v}$
整理得：t=$\frac{2πm}{3q{B}_{0}}$
（3）粒子经过C点时速度沿+x方向，由几何关系可知C点的坐标值
x2=$\sqrt{3}$R
y2=R
若III区域的磁场方向向外，粒子恰好从f点经过时，轨迹如图3所示．
由几何关系知：
（r3-y2）2+（3R-x2）2=${r}_{3}^{2}$
整理得：r3=$\frac{13-6\sqrt{3}}{2}R$③
由①③式得：Bx=$\frac{2}{13-6\sqrt{3}}$B0=$\frac{26+12\sqrt{3}}{61}$B0
若III区域中的磁场方向向里，粒子的轨迹恰好与弧ef相切时，轨迹如图4所示．
由几何关系知：OE=3R-r4
OE2=${x}_{2}^{2}$+（r4+y2）2
整理得：r4=$\frac{5}{8}$R④
由①④式得：Bx=$\frac{8}{5}$B0
为保证粒子不从弧ef上射出磁场：
当III区域的磁场方向垂直坐标平面向外时，磁感应强度须满足
Bx＞$\frac{26+12\sqrt{3}}{61}$B0
当III区域的磁场方向垂直坐标平面向里时，磁感应强度须满足
Bx≥$\frac{8}{5}$B0
答：（1）求粒子与弧ab交点的坐标值x1为$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，y1为$\frac{1}{2}$R；
（2）求粒子在I、II两区域中运动的总时间t为$\frac{2πm}{3q{B}_{0}}$；
（3）为使粒子不从弧ef上射出磁场，当III区域的磁场方向垂直坐标平面向外时，磁感应强度须满足Bx＞$\frac{26+12\sqrt{3}}{61}$B0 ，当III区域的磁场方向垂直坐标平面向里时，磁感应强度须满足Bx≥$\frac{8}{5}$B0．
点评 本题考查带电粒子在磁场中的运动，运用洛伦兹力提供向心力与几何关系结合的分析思路去解决，求解粒子在磁场中运动的时间时，要注意分析粒子所转过的圆心角或弧长；注意第三问由于未说明III区域的磁场方向，故存在多解情况．解题关键是要分好过程，画出粒子的运动轨迹，明确粒子每一个过程的运动，一定要规范作图，以便更快地找到几何关系，提高解题效率．
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