Question

5．如图所示，半径为R的半圆柱形玻璃柱，放置在直角坐标系xoy中，圆心与坐标系原点O重合，在第二象限中坐标为（-1.5R，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$R）的点A处，放置一个激光器（图中未画出），发出的两束细激光束a和b，其中，激光束a平行于x轴射向玻璃砖，激光束b沿AO方向射向玻璃砖．已知激光在玻璃中的折射率为$\sqrt{3}$，试作出激光束a和b通过玻璃砖的光路图，并证明a和b射出玻璃砖后是否相交．

Answer 1

分析 两光束经过两次折射射入空气，画出光路图．根据几何知识得到两光束的入射角，由折射定律求出折射角，结合数学知识判断a和b射出玻璃砖后是否相交．

解答 解：激光束a、b经过玻璃砖的折射光路图如图所示：
如图，tanθ=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}R}{1.5R}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，得θ=30°
激光束b：
  在O点有：n=$\frac{sinθ′}{sinθ}$，得 θ′=60°
又　sinθ₁=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}R}{R}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，得 θ₁=60°
激光束a：在C点有：n=$\frac{sin{θ}_{1}}{sin{θ}_{2}}$，得 θ₂=30°
在E点有：n=$\frac{sin{θ}_{4}}{sin{θ}_{3}}$=$\frac{sin{θ}_{4}}{sin（{θ}_{1}-{θ}_{2}）}$，得 θ₄=60°
由θ₄=θ′，两束光射出后应平行，故不相交．
答：光路图如图所示，a和b射出玻璃砖后不相交．

点评 本题是几何光学问题，画出光路图，运用折射定律和几何知识结合进行求解，是常规方法．