Question

2．如图所示，坐标平面的第Ⅰ象限内存在大小为E₂=$\frac{2mg}{q}$、方向竖直向下的匀强磁场，足够长的薄挡板MN垂直x轴放置且离原点O的距离为L，第Ⅱ象限内存在垂直于纸面向里的匀强磁场B和竖直向下的匀强电场E₁=$\frac{1}{2}$E₂（E₁、E₂未矢）．一质量为m，带电量为-q的小球（可视为质点），自A点（-d，0）以一定的速度垂直于x轴进入磁场，恰好到达O点．（已知重力加速度为g）求：
（1）小球从A点进入磁场时，速度V的大小；
（2）若小球现仍从A点进入磁场但初速度大小为原来的4倍，为使小球平行于x轴进入第一象限，求小球速度方向与x轴正向间的夹角θ大小；
（3）在满足（2）问情况下，小球打到挡板上时的纵坐标y．

Answer 1

分析 （1）小球在第Ⅱ象限内受到的重力与电场力平衡，恰好做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律和几何知识结合解答．
（2）粒子初速度为原来的4倍时半径为r₁，速度为v₁，根据牛顿第二定律求得r₁．为使小球平行于x轴进入电场，圆心O在y轴上，由几何知识求出速度方向与x轴正方向的夹角，再画出轨迹．
（3）在第Ⅰ象限内小球做类平抛运动，由牛顿第二定律求出加速度．由两个分位移公式求出y．

解答 解：（1）在第Ⅱ象限内，因为qE₁=mg，则小球在第Ⅱ象限中做匀速圆周运动，设轨迹半径为r，速度为v，据匀速圆周运动的规律得：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$…①
又 r=$\frac{d}{2}$…②
联立解得：v=$\frac{qBd}{2m}$ 
（2）粒子初速度为原来的4倍时半径为r₁，速度为v₁，据匀速圆周运动的规律得：
qv₁B=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$…③
 v₁=4v₀…④
联立①②③④解得：r₁=2d，v₁=$\frac{2qBd}{m}$…⑤
为使小球平行于x轴进入电场，圆心O在y轴上，设速度方向与x轴正方向的夹角为θ，由几何关系知：
  sinθ=$\frac{OA}{O′A}$=$\frac{l}{2L}$=0.5，
则θ=30°或θ=150°，如右图所示．
（3）在第Ⅰ象限内小球的加速度 a=$\frac{q{E}_{1}-mg}{m}$=g…⑥
方向竖直向上，小球做类平抛运动，在第Ⅰ象限内小球的竖直方向偏移量 y₁=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$…⑦
                 水平方向 L=v₁t…⑧
由⑤⑥⑦⑧解得：y₁=$\frac{{m}^{2}{L}^{2}g}{8{q}^{2}{B}^{2}{d}^{2}}$
在两种情况下，有：y=（2±$\sqrt{3}$）d+$\frac{{m}^{2}{L}^{2}g}{8{q}^{2}{B}^{2}{d}^{2}}$．
答：（1）小球从A点进入磁场时，速度V的大小是$\frac{qBd}{2m}$．
（2）为使小球平行于x轴进入电场，速度方向与x轴正方向的夹角为θ=30°或θ=150°．
（3）小球打到挡板上时的纵坐标y是（2±$\sqrt{3}$）d+$\frac{{m}^{2}{L}^{2}g}{8{q}^{2}{B}^{2}{d}^{2}}$．

点评 本题是带电粒子在复合场中运动的问题，关键要正确分析粒子的受力情况，判断其运动情况，运用力学的基本规律：牛顿第二定律、运动学公式及几何知识结合解答．