Question

15．如图所示，竖直面内的正方形导线框ABCD和abcd的边长均为l、电阻均为R，质量分别为2m和m，它们分别系在一跨过两个定滑轮的轻绳两端，在两导线框之间有一宽度为2l、磁感应强度大小为B、方向垂直竖直面向里的匀强磁场．开始时ABCD的下边与匀强磁场的上边界重合，abcd的上边到匀强磁场的下边界的距离为l，现将系统由静止释放，当ABCD刚全部进入磁场时，系统开始做匀速运动．不计摩擦和空气阻力，求：
①系统匀速运动的速度大小；
②线框abcd通过磁场的时间；
③两线框从开始运动至等高的过程中所产生的总焦耳热？

Answer 1

分析 （1）当ABCD刚全部进入磁场时，系统开始做匀速运动，分别对两线框列平衡方程，可得abcd框安培力大小，继而求得感应电流大小，根据欧姆定律和法拉第电磁感应定律可得系统匀速运动的速度大小；
（2）由题意可知，线框abcd通过磁场时始终以速度v匀速运动，由运动距离及速度大小可得时间；
（3）当左、右两线框分别向上、向下运动2l的距离时，两线框等高，根据能量守恒得，系统机械能的减少等于产生的总焦耳热．

解答 解：①如图所示，设两线框刚匀速运动的速度为v、此时轻绳上的张力为T，则
对ABCD有：T=2mg
对abcd有：T=mg+BIl
其中$I=\frac{Blv}{R}$
解得：$v=\frac{mgR}{{{B^2}{l^2}}}$
②线框abcd通过磁场时以速度v匀速运动，设线框abcd通过磁场的时间为t；
所以有：$t=\frac{3l}{v}=\frac{{3{B^2}{l^3}}}{mgR}$
③设两线框从开始运动至等高的过程中所产生的焦耳热为Q，当左、右两线框分别向上、向下运动2l的距离时，两线框等高，对这一过程，由能量守恒有：
$4mgl=2mgl+\frac{1}{2}•3m{v^2}+Q$
解得：$Q=2mgl-\frac{{3{m^3}{g^2}{R^2}}}{{2{B^4}{l^4}}}$
答：①系统匀速运动的速度大小$\frac{mgR}{{B}^{2}{l}^{2}}$；
②线框abcd通过磁场的时间$\frac{3{B}^{2}{l}^{3}}{mgR}$；
③两线框从开始运动至等高的过程中所产生的总焦耳热2mgl-$\frac{3{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{2{B}^{4}{l}^{4}}$．

点评 本题是电磁感应中的力学问题，安培力的计算和分析能量如何转化是解题关键，要加强训练，熟练掌握法拉第定律、欧姆定律、安培力等等基础知识，提高解题能力．