题目内容

天文工作者观测到某行星的半径为R1,自转周期为T1,它有一颗卫星,轨道半径为R2,绕行星公转周期为T2.若万有引力常量为G,求:
(1)该行星的平均密度;
(2)该行星的地表重力加速度;
(3)该行星同步卫星的运行轨道半径.
分析:(1)根据万有引力提供卫星圆周运动的向心力可以列式求出行星的质量M,进一步求密度;
(2)根据重力等于万有引力,列式求得行星的地表重力加速度;
(3)根据万有引力提供向心力列式,求出行星同步卫星的轨道半径.
解答:解:(1)据万有引力提供卫星圆周运动的向心力,有
GMm
R
2
2
=m(
T2
)2R2
 ①
得到 M=
4π2R23
GT22

M=ρ
4
3
πR13

∴行星的密度 ρ=
R
3
2
G
T
2
2
R
3
1

(2)在行星的地表,有
GMm
R
2
1
=mg
,②
g=
4π2R23
R12T22

(3)对于同步卫星,有
GMm
r2
=m(
T1
)2r
,③
由①③解得r=
3
T12
T22
R2

答:
(1)该行星的平均密度为
R
3
2
G
T
2
2
R
3
1

(2)该行星的地表重力加速度为
4π2
R
2
2
R
2
1
T
2
2

(3)该行星同步卫星的运行轨道半径为
3
T
2
1
T
2
2
R2
点评:解决问题的关键根据万有引力提供圆周运动的向心力,及万有引力等于重力,理清解题思路,难度不大.
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