题目内容

2007年10月24日18时05分,搭载着我国首颗探月卫星“嫦娥一号”的长征三号甲运载火箭在西昌卫星发射中心三号塔架点火发射。11月5日10时35分左右,经过180多万千米长途飞行的“嫦娥一号”卫星,被月球成功捕获,开始绕月球做无动力状态下的椭圆轨道运动。如图所示为该椭圆轨道示意图,已知远月点距月心距离为ra,近月点距月心距离为rb。此后,卫星还将进行两次近月制动,最终进入距离月球200千米、周期为127分钟的圆形轨道。若卫星运动遵守开普勒三定律,其第二定律内容可简化为如下表达式:ra×va=rb×vb,式中va、vb分别是远月点和近月点卫星运行速度;第三定律内容可表述为:如果卫星绕月球做圆周运动的半径与做椭圆运动的长半轴相等,则两者周期相等;卫星在距月心距离为r时,引力势能可写成-GMm/r。若已知月球质量为M,引力常量为G,忽略卫星在太空运行时的一切阻力。根据以上信息求:

(1)“嫦娥一号”卫星在该椭圆轨道上的运行周期;

(2)“嫦娥一号”卫星的近月运行速度。

解:(1)卫星绕月球做圆周运动的半径与做椭圆运动的半长轴相等时,则两者周期相等。

令卫星质量为m,对以半长轴R为半径绕月球做圆周运动的卫星,据万有引力定律得:

 

R=

所以T=π(ra+rb)

所以“嫦娥一号”在椭圆轨道上的运行周期

T=π(ra+rb)

(2)据开普勒三定律中的第二定律:rava=rbvb

对卫星,据机械能守恒,有:

mva2/2-GMm/ra=mvb2/2-GMm/rb

由上两式得“嫦娥一号”近月运行速度

vb=

本题考查天体运动、万有引力定律、开普勒第二定律、机械能守恒等有关知识。

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