题目内容
2007年10月24日，中国首次月球探测工程取得圆满成功．假设探月宇航员站在月球表面以初速度v0竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处，已知月球半径为R，月球的质量分布均匀，万有引力常量为G，求：
（1）月球表面的重力加速度g′；
（2）人造卫星绕月球做匀速圆周运动的最大速度vm；
（3）求月球质量M．
（1）月球表面的重力加速度g′；
（2）人造卫星绕月球做匀速圆周运动的最大速度vm；
（3）求月球质量M．
分析：（1）月球表面的重力加速度g′就是小球竖直上抛的加速度，可根据匀减速运动的速度公式的求出．
（2）先万有引力提供向心力G
=m
解出速度的表达式，再根据月球表面的物体受到的重力等于万有引力mg′=G
，得到GM=R2g′=
，代入速度的表达式中化简，当r最小等于地球半径R时，速度最大．
（3）根据月球表面的物体受到的重力等于万有引力mg′=G
，化简可得月球的质量M．
（2）先万有引力提供向心力G
| Mm |
| r2 |
| v2 |
| r |
| Mm |
| R2 |
| 2v0R2 |
| t |
（3）根据月球表面的物体受到的重力等于万有引力mg′=G
| Mm |
| R2 |
解答：解：（1）探月宇航员站在月球表面以初速度v0竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处，
由竖直上抛运动v0=g′
，
得：g′=
（2）由万有引力提供向心力G
=m
，
得v=
，
又根据月球表面的物体受到的重力等于万有引力mg′=G
，
得GM=R2g′=
所以v=
，
当r最小等于地球半径R时，速度最大为
vm=
=
（3）根据月球表面的物体受到的重力等于万有引力mg′=G
，
得M=
=
．
答：（1）月球表面的重力加速度g′为
；
（2）人造卫星绕月球做匀速圆周运动的最大速度vm为
；
（3）求月球质量M为
．
由竖直上抛运动v0=g′
| t |
| 2 |
得：g′=
| 2v0 |
| t |
（2）由万有引力提供向心力G
| Mm |
| r2 |
| v2 |
| r |
得v=
|
又根据月球表面的物体受到的重力等于万有引力mg′=G
| Mm |
| R2 |
得GM=R2g′=
| 2v0R2 |
| t |
所以v=
|
当r最小等于地球半径R时，速度最大为
vm=
|
|
（3）根据月球表面的物体受到的重力等于万有引力mg′=G
| Mm |
| R2 |
得M=
| g′R2 |
| G |
| 2v0R2 |
| Gt |
答：（1）月球表面的重力加速度g′为
| 2v0 |
| t |
（2）人造卫星绕月球做匀速圆周运动的最大速度vm为
|
（3）求月球质量M为
| 2v0R2 |
| Gt |
点评：本题要知道人造卫星绕月球附近做匀速圆周运动时速度最大，根据重力等于向心力也可求解最大速度，这种方法更简单一些．
练习册系列答案
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