Question

2．如图甲、乙为宇宙空间存在的两种三星系统，这样的三星系统均离其它恒星较远，甲图中三个星的质量均为m，三个星的连线构成正三角形，三角形在图中所示的圆周上运匀速圆周运动，图乙中D、E的质量也为m，D、E分别在其它两个星的引力作用下绕图中所示的圆周做匀速圆周运动，F星在D、E做圆周运动的圆心上．
（1）试证明甲图所示的系统中，每个星体做圆周运动的周期T的平方与轨道半径R的三次方的比值由星体本身的质量决定；
（2）若两个系统做圆周运动的半径相同，周期也相同，则F星的质量为多大？

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供圆周运动向心力，图中每颗星圆周运动的向心力由另外两颗星对其万有引力的合力提供，据合成求解．
（2）D、E圆周运动的向心力由彼此间的引力与F对其引力的合力提供，根据合求关系求解F的质量．

解答 解：（1）第一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，

令圆周运动的轨道半径为R，两星间的距离L=2Rcos30°=$\sqrt{3}R$由万有引力定律和牛顿第二定律得：
$2•G\frac{mm}{（\sqrt{3}R）^{2}}•cos30°=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
可得：$\frac{{T}^{2}}{{R}^{3}}$=$\frac{4{π}^{2}•\sqrt{3}}{Gm}$，即比值由恒星的质量决定．
（2）令F的质量为M，根据万有引力合力提供圆周运动向心力有：
$G\frac{mm}{（2R）^{2}}+G\frac{mM}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
整理得：$\frac{{T}^{2}}{{R}^{3}}=\frac{16{π}^{2}}{G（m+4M）}$
由（1）分析可得$\frac{4{π}^{2}•\sqrt{3}}{Gm}=\frac{16{π}^{2}}{G（m+4M）}$
可得M=$\frac{4-\sqrt{3}}{4}m$
答：（1）每个星体做圆周运动的周期T的平方与轨道半径R的三次方的比值为$\frac{4{π}^{2}•\sqrt{3}}{Gm}$，由m决定；
（2）若两个系统做圆周运动的半径相同，周期也相同，则F星的质量为$\frac{4-\sqrt{3}}{4}m$．

点评 万有引力定律和牛顿第二定律是力学的重点，在本题中有些同学找不出什么力提供向心力，关键在于进行正确受力分析．