题目内容
已知常数a、b满足a＞1＞b＞0，若f（x）=lg（ax-bx）．
（1）求y=f（x）的定义域；
（2）证明y=f（x）在定义域内是增函数；
（3）若f（x）恰在（1，+∞）内取正值，且f（2）=lg2，求a、b的值．
（1）求y=f（x）的定义域；
（2）证明y=f（x）在定义域内是增函数；
（3）若f（x）恰在（1，+∞）内取正值，且f（2）=lg2，求a、b的值．
分析：（1）利用对数函数和指数函数的定义域及单调性即可得出；
（2）?x2＞x1＞0，利用指数函数和对数函数的单调性即可证明f（x2）-f（x1）＞0；
（3）由（2）可知：y=f（x）在（1，+∞）上是增函数，且f（x）恰在（1，+∞）内取正值，可得f（1）=0，又f（2）=lg2，联立即可解出．
（2）?x2＞x1＞0，利用指数函数和对数函数的单调性即可证明f（x2）-f（x1）＞0；
（3）由（2）可知：y=f（x）在（1，+∞）上是增函数，且f（x）恰在（1，+∞）内取正值，可得f（1）=0，又f（2）=lg2，联立即可解出．
解答：解：（1）要使函数f（x）=lg（ax-bx）有意义，则需要ax-bx＞0，（*）
∵常数a、b满足a＞1＞b＞0，∴
＞1，∴（*）化为(
)x＞1，∴x＞0．
∴y=f（x）的定义域为（0，+∞）．
（2）?x2＞x1＞0，则f（x2）-f（x1）=lg(ax2-bx2)-lg(ax1-bx1)=lg
．
∵x2＞x1＞0，a＞1＞b＞0，∴ax2-ax1＞0，bx1-bx2＞0．
∴ax2-bx2-(ax1-bx1)=(ax2-ax1)+bx1-bx2＞0，
又ax1＞bx1，
∴
＞1，
∴lg
＞0．
∴f（x2）-f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1）．
∴y=f（x）在定义域内是增函数；
（3）由（2）可知：y=f（x）在（1，+∞）上是增函数，且f（x）恰在（1，+∞）内取正值，
∴f（1）=0，即lg（a-b）=0，化为a-b=1．
∵f（2）=lg2，∴lg（a2-b2）=lg2，化为a2-b2=2，
联立
，解得
．
∴a=1.5，b=0.5．
∵常数a、b满足a＞1＞b＞0，∴
| a |
| b |
| a |
| b |
∴y=f（x）的定义域为（0，+∞）．
（2）?x2＞x1＞0，则f（x2）-f（x1）=lg(ax2-bx2)-lg(ax1-bx1)=lg
| ax2-bx2 |
| ax1-bx1 |
∵x2＞x1＞0，a＞1＞b＞0，∴ax2-ax1＞0，bx1-bx2＞0．
∴ax2-bx2-(ax1-bx1)=(ax2-ax1)+bx1-bx2＞0，
又ax1＞bx1，
∴
| ax2-bx2 |
| ax1-bx1 |
∴lg
| ax2-bx2 |
| ax1-bx1 |
∴f（x2）-f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1）．
∴y=f（x）在定义域内是增函数；
（3）由（2）可知：y=f（x）在（1，+∞）上是增函数，且f（x）恰在（1，+∞）内取正值，
∴f（1）=0，即lg（a-b）=0，化为a-b=1．
∵f（2）=lg2，∴lg（a2-b2）=lg2，化为a2-b2=2，
联立
|
|
∴a=1.5，b=0.5．
点评：本题考查了指数函数和对数函数的单调性及其运算性质，属于难题．
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）上是减函数。
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