Question

已知动点M（x，y）到定点O（0，0）与到定点A（3，0）的距离之比为

1

2

．
（1）求动点M的轨迹C的方程，并指明曲线C的轨迹；
（2）设直线l：y=x+b，若曲线C上恰有三个点到直线l的距离为1，求实数b的值．

Answer 1

分析：（1）利用动点M（x，y）到定点O（0，0）与到定点A（3，0）的距离之比为

1

2

，建立方程，化简可得结论；
（2）曲线C上恰有三个点到直线l的距离为1，可得圆心到直线l的距离等于1，从而可求实数b的值．

解答：解：（1）∵动点M（x，y）到定点O（0，0）与到定点A（3，0）的距离之比为

1

2

，
∴

x2+y2

(x-3)2+y2

=

1

2

，
化简可得x²+y²+2x-3=0；
（2）x²+y²+2x-3=0可化为（x+1）²+y²=4，
∵曲线C上恰有三个点到直线l的距离为1，
∴圆心到直线l的距离为d=

|-1+b|

2

=1，
∴b=1-

2

或b=1+

2

．

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．