Question

10．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，△PAB为等边三角形，AD⊥AB，AD∥BC，平面PAB⊥平面ABCD，E为PD的中点，F为PA中点．
（1）证明：PA⊥平面BEF；
（2）若AD=2BC=2AB=4，求点D到平面PAC的距离．

Answer 1

分析 （1）连结BF、EF，由等边三角形性质得BF⊥PA，推导出EF⊥平面PAB，从而EF⊥PA，由此能证明PA⊥平面BEF．
（2）法一：取AB中点H，设D到平面PAC的距离为d，由V_P-ACD=V_D-PAC，能求出点D到平面PAC的距离．
法二：取AB中点O，CD中点G，以O为原点，OB为x轴，OG为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点D到平面PAC的距离．

解答 证明：（1）连结BF、EF，
∵△PAB为等边三角形，F为PA中点，
∴BF⊥PA，
∵AD⊥AB，AD∥BC，平面PAB⊥平面ABCD，E为PD的中点，
∴AD⊥平面PAB，EF∥AD，∴EF⊥平面PAB，
∵PA?平面PAB，∴EF⊥PA，
∵BF∩EF=F，∴PA⊥平面BEF．
解法一：（2）取AB中点H，由由平面PAB⊥平面ABCD，知PH⊥平面ABCD，
又PH=$\frac{\sqrt{3}}{2}×2=\sqrt{3}$，${S}_{△ACD}=\frac{1}{2}×4×2=4$，
∴${V}_{P-ACD}=\frac{1}{3}{S}_{△ACD}•PH=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∵由（1）知PA⊥平面BCEF，FC?平面BCEF，∴PA⊥FC，
又FC=BE=$\sqrt{4+3}$=$\sqrt{7}$，
∴${S}_{△PAC}=\frac{1}{2}×\sqrt{7}×2$=$\sqrt{7}$，
设D到平面PAC的距离为d，
由V_P-ACD=V_D-PAC，得$\frac{4\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{3}×\sqrt{7}d$，得d=$\frac{4\sqrt{21}}{7}$．
∴点D到平面PAC的距离为$\frac{4\sqrt{21}}{7}$．
解法二：（2）取AB中点O，CD中点G，以O为原点，OB为x轴，OG为y轴，OP为z轴，
建立空间直角坐标系，
则D（-1，4，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），A（-1，0，0），C（1，2，0），
$\overrightarrow{PC}$=（1，2，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PD}$=（-1，4，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PA}$=（-1，0，-$\sqrt{3}$），
设平面PAC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=-x-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=x+2y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（-3，3，$\sqrt{3}$），
∴点D到平面PAC的距离d=$\frac{|\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{12}{\sqrt{21}}$=$\frac{4\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查点D到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．