题目内容

集合A是由适合以下性质的函数f（x）组成的：对于任意的x≥0，f（x）∈（1，4]，且f（x）在[0，+∞）上是减函数．
（1）判断函数f₁（x）=2- $数学公式$ 及f₂（x）=1+3•（ $数学公式$ （x≥0）是否在集合A中？试说明理由；
（2）对于（1）中你认为是集合A中的函数f（x），不等式f（x）+f（x+2）≤k对于任意的x≥0总成立．求实数k的取值范围．

解：（1）∵f₁（49）=2- $\text{[math]}$ =-5∉（1，4]，∴f₁（x）不在集合A中．…（3分）
又∵x≥0，∴0＜（ $\text{[math]}$ ≤1，∴0＜3•（ $\text{[math]}$ ≤3，从而1＜1+3•（ $\text{[math]}$ ≤4．∴f₂（x）∈（1，4]．
又f₂（x）=1+3•（ $\text{[math]}$ 在[0，+∞）上为减函数，∴f₂（x）=1+3•（ $\text{[math]}$ 在集合A中．…（7分）
（2）当x≥0时，f（x）+f（x+2）=2+ $\text{[math]}$ •（ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ．
又由已知f（x）+f（x+2）≤k对于任意的x≥0总成立，∴k≥ $\text{[math]}$ ．
因此所求实数k的取值范围是[ $\text{[math]}$ ，+∞）． …（14分）
分析：（1）要判断函数 $\text{[math]}$ 是否在集合A中，只要判断对于任意的x≥0f（x）是否满足f（x）∈（1，4]，且f（x）在（0，+∞）单调递减即可
（2）由（1）可知，当x≥0时， $\text{[math]}$ ，从而有f（x）+f（x+2）=2+ $\text{[math]}$ •（ $\text{[math]}$ ≤k在（0，+∞）上恒成立
，从而转化为求解2+ $\text{[math]}$ 在（0，+∞）上的最大值即可
点评：本题以集合的关系为载体主要考查了函数的单调性于函数的值域的求解，而函数的恒成立的问题的解决常转化为求解函数的最值．

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集合A是由适合以下性质的函数f（x）构成的，对于任意的x＞0 y＞0且x≠y都有f（x）+2f（y）＞3f(

)
（1）试判断f₁（x）=log₂x及f₂（x）=（x+1）²是否在集合A中？并说明理由
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，写出一个满足上述条件的解析式；并证明此函数f（x）∈A．

集合A是由适合以下性质的函数f（x）组成的，对于任意的x≥0，f（x）∈[-2，4）且f（x）在（0，+∞）上是增函数．
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-2及f₂（x）=4-6?（

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-2及f2(x)=4-6•(

)x是否在集合A中，并说明理由；
（2）若定义：对定义域中的任意一个x都有不等式f（x）+f（x+2）＜2f（x+1）恒成立，则称这个函数为凸函数．对于（1）中你认为在集合A中的函数f（x）是凸函数吗？试证明你的结论．

集合A是由适合以下性质的函数f（x）构成的：对于任意的，且u、υ∈（-1，1），都有|f（u）-f（υ）|≤3|u-υ|．
（1）判断函数f1(x)=

是否在集合A中？并说明理由；
（2）设函数f（x）=ax²+bx，且f（x）∈A，试求2a+b的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若f（2）=6，且对于满足（2）的每个实数a，存在最小的实数m，使得当x∈[m，2]时，|f（x）|≤6恒成立，试求用a表示m的表达式．

（2009•湖北模拟）集合A是由适合以下性质的函数f（x）组成的：对于任意的x≥0，f（x）∈（1，4]，且f（x）在[0，+∞）上是减函数．
（1）判断函数f₁（x）=2-

及f₂（x）=1+3•（

)x（x≥0）是否在集合A中？试说明理由；
（2）对于（1）中你认为是集合A中的函数f（x），不等式f（x）+f（x+2）≤k对于任意的x≥0总成立．求实数k的取值范围．