Question

集合A是由适合以下性质的函数组成：对于任意x≥0，f（x）∈[-2，4]，且f（x）在（0，+∞） 上是增函数．
（1）试判断f1(x)=

x

-2及f2(x)=4-6•(

1

2

)x是否在集合A中，并说明理由；
（2）若定义：对定义域中的任意一个x都有不等式f（x）+f（x+2）＜2f（x+1）恒成立，则称这个函数为凸函数．对于（1）中你认为在集合A中的函数f（x）是凸函数吗？试证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）依据集合A的定义逐一判断即可．
（2）验证（1）中属于集合A的函数是否满足凸函数的定义即可．

解答：解：（1）当x=49时，f1(49)=

49

-2=5∉[-2，4]，所以f₁（x）∉A；
当x≥0时，(

1

2

)x∈(0，1]，4-6(

1

2

)x∈[-2，4），所以f₂（x）∈[-2，4]，
又当x＞0时，(

1

2

)x单调递减，∴f2(x)=4-6(

1

2

)x单调递增，
故f₂（x）∈A．
（2）因为f₂（x）+f₂（x+2）-2f₂（x+1）=[4-6(

1

2

)x]+[4-6(

1

2

)x+2]-2[4-6(

1

2

)x+1]
=12(

1

2

)x+1-6(

1

2

)x-6(

1

2

)x+2=-

3

2

(

1

2

)x＜0，所以，f₂（x）+f₂（x+2）＜2f₂（x+1）．
即f₂（x）对任意x都有不等式f₂（x）+f₂（x+2）＜2f₂（x+1）成立．
故f₂（x）是凸函数．

点评：本题考查了函数恒成立问题，利用所学知识解决新问题的能力．