题目内容
已知函数y=2x3-3x2-12x+8．（Ⅰ）求函数在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）求函数在区间[-2，3]上的最大值和最小值．
【答案】分析：（I）利用切线的斜率是函数在切点处导数，求出切线斜率，再利用直线方程的点斜式求出切线方程．
（II）先求导函数，确定函数在闭区间[-2，3]上的极值点及端点的值，进而计算极值点及端点的函数值可确定函数的最值．
解答：解：（Ⅰ）将x=1代入函数解析式得y=-5---------------------------------（2分）
y'=6x2-6x-12，所以y'|x=1=-12----------------------------------（4分）
由直线方程的点斜式得y+5=-12（x-1）
所以函数在x=1处的切线方程为12x+y-7=0----------------------------------（6分）
（Ⅱ）y'=6x2-6x-12=6（x-2）（x+1）=0，
解得x=2或x=-1------------------------（8分）
由于f（-2）=4，f（-1）=15，f（2）=-12，f（3）=-1-------------------------------（10分）
∴ymax=15，ymin=-12------------------------------（12分）
点评：本题以函数为载体，考查函数导数的几何意义、利用导数求闭区间上函数的最值，解题的关键是利用导数工具．属于导数的基础题．
（II）先求导函数，确定函数在闭区间[-2，3]上的极值点及端点的值，进而计算极值点及端点的函数值可确定函数的最值．
解答：解：（Ⅰ）将x=1代入函数解析式得y=-5---------------------------------（2分）
y'=6x2-6x-12，所以y'|x=1=-12----------------------------------（4分）
由直线方程的点斜式得y+5=-12（x-1）
所以函数在x=1处的切线方程为12x+y-7=0----------------------------------（6分）
（Ⅱ）y'=6x2-6x-12=6（x-2）（x+1）=0，
解得x=2或x=-1------------------------（8分）
由于f（-2）=4，f（-1）=15，f（2）=-12，f（3）=-1-------------------------------（10分）
∴ymax=15，ymin=-12------------------------------（12分）
点评：本题以函数为载体，考查函数导数的几何意义、利用导数求闭区间上函数的最值，解题的关键是利用导数工具．属于导数的基础题．
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