Question

用长为16米的篱笆借助一墙角围成一个矩形ABCD（如图所示），在P处有一棵树距两墙的距离分别为a（0＜a＜12）米和4米，现需要将此树圈进去，设矩形ABCD的面积为y（平方米），长BC为x（米）．
（1）设y=f（x），求y=f（x）的解析式并指出其定义域；
（2）试求y=f（x）的最大值与最小值之差g（a）．

Answer 1

分析：（1）要使树被圈进去，则ABCD中BC≥a，CD≥4，由此可确定函数的变量的范围．设长BC=x米，宽CD=（16-x）米，所以面积y=f（x）=x（16-x）=-x²+16x；
（2）由（1）得，y=f（x）=-x²+16x=-（x-8）²+64，x∈[a，12]，由于对称轴x=8，根据0＜a＜12，故要进行分类讨论：即8≤a＜12；4≤a＜8；0＜a＜4，从而可求y=f（x）的最大值与最小值之差g（a）．

解答：解：（1）要使树被圈进去，则ABCD中BC≥a，CD≥4，
因为篱笆长为16米，所以当长BC=x米时，宽CD=（16-x）米．
由于BC≥a，CD≥4，故a≤x≤12，
所以面积y=f（x）=x（16-x）=-x²+16x，其定义域为x∈[a，12]
（2）由（1）得，y=f（x）=-x²+16x=-（x-8）²+64，x∈[a，12]
对称轴x=8，又因为0＜a＜12
所以，当8≤a＜12时，y_max=-a²+16a，y_min=48，此时g（a）=-a²+16a-48；
当4≤a＜8时，y_max=64，y_min=48，此时g（a）=64-48=16；
当0＜a＜4时，y_max=64，y_min=-a²+16a，此时g（a）=a²-16a+64；
综上：g(a)=

a2-16a+64   (0＜a＜4) 16(4≤a＜8) -a2+16a-48  (8≤a＜12)

点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查二次函数最值的求解，解题的关键是读懂题意，正确分类．