题目内容
已知椭圆C：
=1（a>b>0）的离心率为
，以原点为圆点，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+
=0相切。
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设P（4，0），A,B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交随圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；
【解析】（1）离心率为得
=，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+=0相切，b=
=
，解得a2=4，b2=3；（Ⅱ）直线PB的方程为y=k(x-4)
【答案】
：（Ⅰ）由题意知e=
=
，所以e2=
=
=
．即a2=
b2．
又因为b=
=
，所以a2=4，b2=3．故椭圆的方程为
=1.…4分
（Ⅱ）由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y=k(x-4)，和椭圆方程联立解决．
由
,得（4k2+3）x2-32k2x+64k2-12=0． ①…6分
设点B(x1,y1)，E(x2,y2)，则A(x1,-y1)．直线AE的方程为y-y2=
(x-x2)．令y=0，得x=x2-
．将y1=k(x1-4)，y2=k(x2-4)代入，
整理，得x=
． ②…8分
由①得x1+x2=
，x1x2=
…10分 代入②整理，得x=1．
所以直线AE与x轴相交于定点Q(1,0)
练习册系列答案
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+
=1（a＞b＞0）经过（1，1）与（
，
）两点．
+
+
为定值．
已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，过F2线与圆x2+y2=b2相切于点A，并与椭圆C交与不同的两点P，Q，如图，PF1⊥PQ，若A为线段PQ的靠近P的三等分点，则椭圆的离心率为（ ）
+
=1（a＞b＞0），直线l为圆O：x2+y2=b2的一条切线，记椭圆C的离心率为e．
，且恰好经过椭圆的右顶点，求e的大小；
y+3=0相切，求椭圆方程．
+
=1（a＞b＞0），直线l为圆O：x2+y2=b2的一条切线，记椭圆C的离心率为e．
，且恰好经过椭圆的右顶点，求e的大小；
y+3=0相切，求椭圆方程．
=1（a>b>0）的离心率为
，且在x轴上的顶点分别为
：
与
轴交于点T，P为
分别与椭圆交于M、N两点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论.