Question

如果直线x=my-1与圆C：x²+y²+mx+ny+p=0相交，且两个交点关于直线y=x对称，那么实数p的取值范围是

(-∞，-

3

2

)

．

Answer 1

分析：根据圆的性质，得直线x=my-1与直线y=x垂直且圆心C（-

m

2

，-

n

2

）在直线y=x上，由此解出m=n=-1，从而得到直线和圆的方程，再由圆心C到直线的距离小于半径，利用点到直线的距离公式即可算出实数p的取值范围．

解答：解：∵直线x=my-1与圆C相交，且两个交点关于直线y=x对称，
∴圆心C（-

m

2

，-

n

2

）在直线y=x上，可得-

m

2

=-

n

2

，即m=n
∵直线x=my-1与直线y=x垂直，∴m=n=-1
得直线方程x=-y-1即x+y+1=0，
圆C：x²+y²-x-y+p=0，圆心C（

1

2

，

1

2

），半径R=

1 2 -p

∵直线x+y+1=0与圆C相交，
∴

| 1 2 + 1 2 +1|

2

＜

1 2 -p

即

2

＜

1 2 -p

，解之得p＜-

3

2

即实数p的取值范围是(-∞，-

3

2

)
故答案为：(-∞，-

3

2

)

点评：本题给出直线与圆相交且交点关于直线y=x对称，求参数p的取值范围，着重考查了点到直线的距离公式、直线与圆的方程、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．