题目内容

已知⊙C过点P(1,1),且与⊙M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线x+y+2=0对称.
(1)求⊙C的方程;
(2)设Q为⊙C上的一个动点,求
PQ
MQ
的最小值.
分析:(1)设圆心的坐标,利用对称的特征,建立方程组,从而求出圆心坐标,又⊙C过点P(1,1),可得半径,故可写出⊙C方程.
(2)设Q的坐标,用坐标表示两个向量的数量积,化简后再进行三角代换,可得其最小值.
解答:解:(1)设圆心C(a,b),则
a-2
2
+
b-2
2
+2=0
b+2
a+2
=1
,解得 a=0,b=0  
则圆C的方程为x2+y2=r2
将点P的坐标(1,1)代入得r2=2,
故圆C的方程为x2+y2=2;
(2)设Q(x,y),则x2+y2=2,
PQ
MQ
=(x-1,y-1)•(x+2,y+2)=x2+y2+x+y-4=x+y-2,
令x=
2
cosθ,y=
2
sinθ,
PQ
MQ
=
2
cosθ+
2
sinθ-2=2sin(θ+
π
4
)-2,
∴θ+
π
4
=2kπ-
π
2
时,sin(θ+
π
4
)的最小值为-1,
所以
PQ
MQ
的最小值为-2-2=-4.
点评:本题考查圆的对称性,考查圆的标准方程,考查两个向量的数量积公式的应用,直线与圆的位置关系的应用,属于中档题.
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