题目内容

已知⊙C过点P(1,1),且与⊙M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线x+y+2=0对称.
(Ⅰ)求⊙C的方程;
(Ⅱ)设Q为⊙C上的一个动点,求
PQ
MQ
的最小值;
(Ⅲ)过点P作两条相异直线分别与⊙C相交于A,B,且直线PA和直线PB的倾斜角互补,O为坐标原点,试判断直线OP和AB是否平行?请说明理由.
分析:(Ⅰ)设圆心的坐标,利用对称的特征:①点与对称点连线的中点在对称轴上;②点与对称点连线的斜率与对称轴的斜率之积等于
-1,求出圆心坐标,又⊙C过点P(1,1),可得半径,从而写出⊙C方程.
(Ⅱ)设Q的坐标,用坐标表示两个向量的数量积,化简后再进行三角代换,可得其最小值.
(Ⅲ)设出直线PA和直线PB的方程,将它们分别与⊙C的方程联立方程组,并化为关于x的一元二次方程,由x=1一定是该方程的解,可求得A,B的横坐标(用k表示的),化简直线AB的斜率,将此斜率与直线OP的斜率作对比,得出结论.
解答:解:(Ⅰ)设圆心C(a,b),则
a-2
2
+
b-2
2
+2=0
b+2
a+2
=1
,解得
a=0
b=0
(3分)
则圆C的方程为x2+y2=r2,将点P的坐标代入得r2=2,
故圆C的方程为x2+y2=2(5分)
(Ⅱ)设Q(x,y),则x2+y2=2,
PQ
MQ
=(x-1,y-1)•(x+2,y+2)
(7分)
=x2+y2+x+y-4=x+y-2,令x=
2
cosθ,y=
2
sinθ,
PQ
MQ
=
2
cosθ+
2
sinθ-2=2sin(θ+
π
4
)-2,∴(θ+
π
4
)=2kπ-
π
2
时,2sin(θ+
π
4
)=-2,
所以
PQ
MQ
的最小值为-2-2=-4. (10分)
(Ⅲ)由题意知,直线PA和直线PB的斜率存在,且互为相反数,
故可设PA:y-1=k(x-1),PB:y-1=-k(x-1),由
y-1=k(x-1)
x2+y2=2

得(1+k2)x2+2k(1-k)x+(1-k)2-2=0(11分)
因为点P的横坐标x=1一定是该方程的解,故可得xA=
k2-2k-1
1+k2
(13分)
同理,xB=
k2+2k-1
1+k2
,所以kAB=
yB-yA
xB-xA
=
-k(xB-1)-k(xA-1)
xB-xA
=
2k-k(xB+xA)
xB-xA
=1
=kOP
所以,直线AB和OP一定平行(15分)
点评:本题考查圆的标准方程的求法,两个向量的数量积公式的应用,直线与圆的位置关系的应用.
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