题目内容
已知⊙C过点P(1,1),且与⊙M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线x+y+2=0对称.(Ⅰ)求⊙C的方程;
(Ⅱ)设Q为⊙C上的一个动点,求
PQ |
MQ |
(Ⅲ)过点P作两条相异直线分别与⊙C相交于A,B,且直线PA和直线PB的倾斜角互补,O为坐标原点,试判断直线OP和AB是否平行?请说明理由.
分析:(Ⅰ)设圆心的坐标,利用对称的特征:①点与对称点连线的中点在对称轴上;②点与对称点连线的斜率与对称轴的斜率之积等于
-1,求出圆心坐标,又⊙C过点P(1,1),可得半径,从而写出⊙C方程.
(Ⅱ)设Q的坐标,用坐标表示两个向量的数量积,化简后再进行三角代换,可得其最小值.
(Ⅲ)设出直线PA和直线PB的方程,将它们分别与⊙C的方程联立方程组,并化为关于x的一元二次方程,由x=1一定是该方程的解,可求得A,B的横坐标(用k表示的),化简直线AB的斜率,将此斜率与直线OP的斜率作对比,得出结论.
-1,求出圆心坐标,又⊙C过点P(1,1),可得半径,从而写出⊙C方程.
(Ⅱ)设Q的坐标,用坐标表示两个向量的数量积,化简后再进行三角代换,可得其最小值.
(Ⅲ)设出直线PA和直线PB的方程,将它们分别与⊙C的方程联立方程组,并化为关于x的一元二次方程,由x=1一定是该方程的解,可求得A,B的横坐标(用k表示的),化简直线AB的斜率,将此斜率与直线OP的斜率作对比,得出结论.
解答:解:(Ⅰ)设圆心C(a,b),则
,解得
(3分)
则圆C的方程为x2+y2=r2,将点P的坐标代入得r2=2,
故圆C的方程为x2+y2=2(5分)
(Ⅱ)设Q(x,y),则x2+y2=2,
•
=(x-1,y-1)•(x+2,y+2)(7分)
=x2+y2+x+y-4=x+y-2,令x=
cosθ,y=
sinθ,
∴
•
=
cosθ+
sinθ-2=2sin(θ+
)-2,∴(θ+
)=2kπ-
时,2sin(θ+
)=-2,
所以
•
的最小值为-2-2=-4. (10分)
(Ⅲ)由题意知,直线PA和直线PB的斜率存在,且互为相反数,
故可设PA:y-1=k(x-1),PB:y-1=-k(x-1),由
,
得(1+k2)x2+2k(1-k)x+(1-k)2-2=0(11分)
因为点P的横坐标x=1一定是该方程的解,故可得xA=
(13分)
同理,xB=
,所以kAB=
=
=
=1=kOP ,
所以,直线AB和OP一定平行(15分)
|
|
则圆C的方程为x2+y2=r2,将点P的坐标代入得r2=2,
故圆C的方程为x2+y2=2(5分)
(Ⅱ)设Q(x,y),则x2+y2=2,
PQ |
MQ |
=x2+y2+x+y-4=x+y-2,令x=
2 |
2 |
∴
PQ |
MQ |
2 |
2 |
π |
4 |
π |
4 |
π |
2 |
π |
4 |
所以
PQ |
MQ |
(Ⅲ)由题意知,直线PA和直线PB的斜率存在,且互为相反数,
故可设PA:y-1=k(x-1),PB:y-1=-k(x-1),由
|
得(1+k2)x2+2k(1-k)x+(1-k)2-2=0(11分)
因为点P的横坐标x=1一定是该方程的解,故可得xA=
k2-2k-1 |
1+k2 |
同理,xB=
k2+2k-1 |
1+k2 |
yB-yA |
xB-xA |
-k(xB-1)-k(xA-1) |
xB-xA |
2k-k(xB+xA) |
xB-xA |
所以,直线AB和OP一定平行(15分)
点评:本题考查圆的标准方程的求法,两个向量的数量积公式的应用,直线与圆的位置关系的应用.
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