题目内容
3.函数f(x)=x+$\sqrt{{x}^{2}-1}$的反函数是f-1(x)=$\frac{{x}^{2}+1}{2x}$,(x∈[-1,0)∪[-1,+∞)).分析 先令y=f(x)=x+$\sqrt{{x}^{2}-1}$,用y表示出x,再交换x,y的位置,即得所求的反函数.
解答 解:函数f(x)=x+$\sqrt{{x}^{2}-1}$的定义域为(-∞,-1]∪[1,+∞);
当x∈(-∞,-1]时,y∈[-1,0),
当x∈[1,+∞)时,y∈[-1,+∞);
故函数f(x)=x+$\sqrt{{x}^{2}-1}$的值域为:[-1,0)∪[-1,+∞);
由y=f(x)=x+$\sqrt{{x}^{2}-1}$得:y-x=$\sqrt{{x}^{2}-1}$,
平方得:y2-2xy+x2=x2-1,即2xy=y2+1,
即x=$\frac{{y}^{2}+1}{2y}$,
故函数f(x)=x+$\sqrt{{x}^{2}-1}$的反函数是f-1(x)=$\frac{{x}^{2}+1}{2x}$,(x∈[-1,0)∪[-1,+∞)),
故答案为:$\frac{{x}^{2}+1}{2x}$,(x∈[-1,0)∪[-1,+∞))
点评 本题考查反函数,解题关键是掌握住反函数的定义,由定义求出反函数的解析式,本题有一易漏点,即忘记求出函数的定义域,对于求函数的解析式的题,一般要求出函数的定义域
练习册系列答案
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14.函数f(x)=$\sqrt{x-1}$•$\sqrt{4-x}$+3的定义域是( )
A. | {x|1<x<4} | B. | {x|1<x≤4} | C. | {x|1≤x≤4} | D. | {x|1≤x<4} |
8.下列表示同一个集合的是( )
A. | M={(1,2)},N={(2,1)} | B. | M={y|y=t2+1,t∈R},N={t|t=(y-1)2+1,y∈R} | ||
C. | M={y|y=x-1,x∈R},N={y|y=x-1,x∈N} | D. | M={(x,y)|$\frac{y-1}{x-2}$=1},N={(x,y)|y-1=x-2} |
18.若三角形面积S=$\frac{1}{4\sqrt{3}}$(b2+c2-a2),则A等于( )
A. | 30° | B. | 45° | C. | 30°或150° | D. | 120° |