题目内容

3.函数f(x)=x+$\sqrt{{x}^{2}-1}$的反函数是f-1(x)=$\frac{{x}^{2}+1}{2x}$,(x∈[-1,0)∪[-1,+∞)).

分析 先令y=f(x)=x+$\sqrt{{x}^{2}-1}$,用y表示出x,再交换x,y的位置,即得所求的反函数.

解答 解:函数f(x)=x+$\sqrt{{x}^{2}-1}$的定义域为(-∞,-1]∪[1,+∞);
当x∈(-∞,-1]时,y∈[-1,0),
当x∈[1,+∞)时,y∈[-1,+∞);
故函数f(x)=x+$\sqrt{{x}^{2}-1}$的值域为:[-1,0)∪[-1,+∞);
由y=f(x)=x+$\sqrt{{x}^{2}-1}$得:y-x=$\sqrt{{x}^{2}-1}$,
平方得:y2-2xy+x2=x2-1,即2xy=y2+1,
即x=$\frac{{y}^{2}+1}{2y}$,
故函数f(x)=x+$\sqrt{{x}^{2}-1}$的反函数是f-1(x)=$\frac{{x}^{2}+1}{2x}$,(x∈[-1,0)∪[-1,+∞)),
故答案为:$\frac{{x}^{2}+1}{2x}$,(x∈[-1,0)∪[-1,+∞))

点评 本题考查反函数,解题关键是掌握住反函数的定义,由定义求出反函数的解析式,本题有一易漏点,即忘记求出函数的定义域,对于求函数的解析式的题,一般要求出函数的定义域

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