Question

已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是，则这个三棱柱的体积是（ ）
A．96
B．16
C．24
D．48

Answer 1

【答案】分析：由球的体积可以求出半径，从而得棱柱的高；由球与正三棱柱的三个侧面相切，得球的半径和棱柱底面正△边长的关系，求出边长，即求出底面正△的面积；得出棱柱的体积．
解答：解：由球的体积公式，得πR³=，
∴R=2．
∴正三棱柱的高h=2R=4．
设正三棱柱的底面边长为a，则其内切圆的半径为：•a=2，
∴a=4．
∴该正三棱柱的体积为：V=S_底•h=•a•a•sin60°•h=•（4）²•4=48．
故答案为：D
点评：本题考查了球的体积，柱体体积公式的应用；本题的解题关键是求底面边长，这是通过正△的内切圆与边长的关系得出的．