题目内容

【题目】已知函数处取得极值.

1)求,并求的单调区间;

2)证明:当时,.

【答案】1上单调递增,在上单调递减;(2)证明见解析.

【解析】


1)根据极值点可求出,根据导函数的正负求出单调区间;
2)法一,由函数单调性可得变形可得,利用不等式的性质可放缩得到,构造函数可利用导数求最小值为0,即可得证;法二由函数单调性可得变形可得,由不等式性质可得,令,由导数可求出即可得证.

1,由是极值点得,∴

,∴

,∴的单调递增区间为

,∴的单调递减区间为.

2)法一:由(1)可知上单调递增,在上单调递减,

,即,故.

,当且仅当时取等号,

,∴

,∴,∵,∴

,∴

,∴上单调递增;

,∴上单调递减,

,即处取等号,

由于取等条件不同,∴.

法二:由(1)可知上单调递增,在上单调递减,

,即,∴,当且仅当时取等号,

,∴

,∴上单调递增;

,∴上单调递减,

,∴

由于取等条件不同,故,整理得.

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