题目内容
【题目】如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的多面体中，四边形ACDF是菱形，∠FAC=60°，AB∥DE，BC∥EF，AB=BC=3，AF=2 
． 
（1）求证：平面ABC⊥平面ACDF；
（2）求平面AEF与平面ACE所成的锐二面角的余弦值．
【答案】
（1）证明：设O是AC中点，连结OF、OB、FC，
在△ABC中，AB=BC，∴OB⊥AC，
∵四边形ACDF是菱形，∠FAC=60°，
∴△FAC是等边三角形，∴OF⊥AC，
∴∠FOB是二面角F﹣AC﹣B的平面角，
在Rt△FAO中，AF=2 
，AO= 
AC= AF= ，
∴OF= 
= 
，
又∵BF= 
，∴OF2+OB2=BF2，
∴∠FOB=90°，
∴平面ABC⊥平面ACDF．
（2）解：由（1）知OB、OC、OF两两垂直，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OF为z轴，
建立空间直角坐标系，
则A（0，﹣ ，0），B（ ，0，0），C（0， ，0），F（0，0，3），
=（0， ，3）， 
=（0，2 ，0），
∵AB∥DE，AF∥CD，又AB平面CDE，AF平面CDE，
DE平面CDE，CD平面CDE，
∴AB∥平面CDE，AF∥平面CDE，
又AB∩AF=A，∴平面ABF∥平面CDE，
∵EF∥BC，∴B、C、E、F四点共面，
又平面ABF∩平面BCEF=BF，平面CDE∩平面BCEF=CE，
∴BF∥CE，∴四边形BCEF是平行四边形，
∴ 
= 
=（﹣ 
，0），
∴ 
=（﹣ 
，3），
设平面AEF的法向量 
=（x，y，z），
则 
，取x= 
，得 =（ 
），
设平面ACE的法向量 
=（a，b，c），
则 
，取a= ，得 =（ 
），
设平面AEF与平面ACE所成的锐二面角为θ，
则cosθ= 
= 
．
∴平面AEF与平面ACE所成的锐二面角的余弦值为 
．
【解析】（1）设O是AC中点，连结OF、OB、FC，推导出OB⊥AC，OF⊥AC，则∠FOB是二面角F﹣AC﹣B的平面角，由此能证明平面ABC⊥平面ACDF．（2）以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AEF与平面ACE所成的锐二面角的余弦值．
【考点精析】利用平面与平面垂直的判定对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．
