题目内容
对于
.
(1)函数的“定义域为R”和“值域为R”是否是一回事?分别求出实数a的取值范围;
(2)结合“实数a的取何值时f(x)在[-1,+∞)上有意义”与“实数a的取何值时函数的定义域为(-∞,1)∪(3,+∞)”说明求“有意义”问题与求“定义域”问题的区别.
解:记μ=g(x)=(x-a)2+3-a2,则
;
(1)不一样;(1分)
定义域为R?g(x)>0恒成立.
得:△=4(a2-3)<0,解得实数a的取值范围为
.(4分)
值域为R:
值域为R?μ至少取遍所有的正实数,
则△=4(a2-3)≥0,解得实数a的取值范围为
.(6分)
(2)实数a的取何值时f(x)在[-1,+∞)上有意义:
命题等价于μ=g(x)>0对于任意x∈[-1,+∞)恒成立,
则
或
,解得实数a得取值范围为
.(8分)
实数a的取何值时函数的定义域为(-∞,1)∪(3,+∞):
由已知得二次不等式x2-2ax+3>0的解集为(-∞,1)∪(3,+∞)可得1+3=2a,
则a=2.故a的取值范围为{2}.(11分)
区别:“有意义问题”正好转化成“恒成立问题”来处理,
而“定义域问题”刚好转化成“取遍所有问题”来解决
(这里转化成了解集问题,即取遍解集内所有的数值)(12分)
分析:(1)记μ=g(x)=(x-a)2+3-a2,定义域是实数,g(x)>0恒成立.求出a的范围;值域为R:
值域为R,可得μ至少取遍所有的正实数,求出a的范围即可.
(2)实数a的取何值时f(x)在[-1,+∞)上有意义,命题等价于:μ=g(x)>0对于任意x∈[-1,+∞)恒成立,求出a;
实数a的取何值时函数的定义域为(-∞,1)∪(3,+∞):求出a;“有意义问题”正好转化成“恒成立问题”来处理,
而“定义域问题”刚好转化成“取遍所有问题”来解决.
点评:本题考查对数函数的定义域,函数恒成立问题,对数函数的值域与最值,考查逻辑思维能力,是中档题.

(1)不一样;(1分)
定义域为R?g(x)>0恒成立.
得:△=4(a2-3)<0,解得实数a的取值范围为

值域为R:

则△=4(a2-3)≥0,解得实数a的取值范围为

(2)实数a的取何值时f(x)在[-1,+∞)上有意义:
命题等价于μ=g(x)>0对于任意x∈[-1,+∞)恒成立,
则



实数a的取何值时函数的定义域为(-∞,1)∪(3,+∞):
由已知得二次不等式x2-2ax+3>0的解集为(-∞,1)∪(3,+∞)可得1+3=2a,
则a=2.故a的取值范围为{2}.(11分)
区别:“有意义问题”正好转化成“恒成立问题”来处理,
而“定义域问题”刚好转化成“取遍所有问题”来解决
(这里转化成了解集问题,即取遍解集内所有的数值)(12分)
分析:(1)记μ=g(x)=(x-a)2+3-a2,定义域是实数,g(x)>0恒成立.求出a的范围;值域为R:

(2)实数a的取何值时f(x)在[-1,+∞)上有意义,命题等价于:μ=g(x)>0对于任意x∈[-1,+∞)恒成立,求出a;
实数a的取何值时函数的定义域为(-∞,1)∪(3,+∞):求出a;“有意义问题”正好转化成“恒成立问题”来处理,
而“定义域问题”刚好转化成“取遍所有问题”来解决.
点评:本题考查对数函数的定义域,函数恒成立问题,对数函数的值域与最值,考查逻辑思维能力,是中档题.

练习册系列答案
相关题目