题目内容

如图，椭圆的长轴A₁A₂与x轴平行，短轴B₁B₂在y轴上，中心为M（0，r）（b＞r＞0）．
（1）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率．
（2）直线y=k₁x交椭圆于两点C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）（y₂＞0）；直线y=k₂x交椭圆于两点G（x₃，y₃），H（x₄，y₄）（y₄＞0）．
求证： $数学公式$ = $数学公式$ ．
（3）对于（2）中的C、D、G、H，设CH交x轴于点P，GD交x轴于点Q．
求证：|OP|=|OQ|．
（证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形）

解：（1）如图可知椭圆的方程为 $\text{[math]}$
焦点坐标为F1（ $\text{[math]}$ ，r），F2（ $\text{[math]}$ ，r）
离心率e= $\text{[math]}$
（2）将直线CD的方程y=k₁x代入椭圆方程，
得b²x²+a²（k₁x-r）²=a²b²，
整理得（b²+a²k₁²）x₂-2k¹a²rx+（a²r²-a²b²）=0．
根据韦达定理，得 x₁+x₂= $\text{[math]}$
x₁x₂= $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ①
将直线GH的方程y=k₂x代入椭圆方程，同理可得
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ②
由①，②得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 所以结论成立．

（3）设点P（p，0），点Q（q，0）．
由C，P，H共线，得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
解得p= $\text{[math]}$
由D，Q，G共线，同理可得q= $\text{[math]}$
由 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 变形得
- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
即- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
所以|p|=|q|，
即|OP|=|OQ|．
分析：（1）如图可知椭圆的顶点坐标，根据椭圆的性质可分别得出椭圆的长半轴和短半轴，进而得到椭圆的方程．再根据椭圆中a，b，c的关系求得c，进而可得椭圆的焦点和离心率．
（2）将直线CD的方程y=k₁x代入椭圆方程，整理后根据韦达定理求得x₁+x₂和x₁x₂的值，两式相除可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，同理可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，整理后进而可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
（3）设点P（p，0），点Q（q，0），根据C，P，H共线，得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，求得p；同样的方法求得q，由 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 变形后即可证明所以|p|=|q|，原式得证．
点评：本题主要考查了椭圆的方程和直线与椭圆的关系．考查了学生分析问题和综合运用知识的能力．是高考题出题的常用模式．