Question

在正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，侧棱是底面边长的2倍，P是侧棱CC₁上的任一点．

（1）求证：不论P在侧棱CC₁上何位置，总有BD^AP；

（2）若CC₁=3C₁P，求平面AB₁P与平面ABCD所成二面角的余弦值；

（3）当P点在侧棱CC₁上何处时，AP在平面B₁AC上的射影是ÐB₁AC的平

分线．

 

Answer 1

答案：
解析：

证明：由题意可知，不论P点在棱CC1上的任何位置，AP在底面ABCD内射影都是AC，∵ BD^AC，∴ BE^AP． （2）解：延长B1P和BC，设B1P∩BC=M，连结AM，则AM=平面AB1P∩平面ABCD．过B作BQ^AM于Q，连结B1Q，由于BQ是B1Q在底面ABCD内的射影，所以B1Q^AM，故ÐB1QB就是所求二面角的平面角，依题意，知CM=2B1C1，从而BM=3BC． 所以AM+，在RtDABM中， BQ=，在RtDB1BQ中，tanÐB1QB=， ∴ tanÐB1QB=．∴ 1+tan2ÐB1QB=得． ∴ cosÐB1QB=为所求． （3）解：设CP=a，BC=m，则BB1=2m，C1P=2m-a，从而B1P2=m2+(2m-a)2， =m2+4m2=5m2，AC=m． 在RtDACP中，cosÐAPC=．在DPAB1中，cosÐPAB1= 依题意，得ÐPAC=ÐPAB1．∴=． ∴ AP2+-B1P2=2AC×AB1．即a2+2m2+5m2-[m2+(2m-a)2]=m， ∴ ．故P距C点的距离是侧棱的． 另解：如图，建立空间直角坐标系． 设CP=a，CC1=6，∴ B1(0，3，6)，C(-3，3，0)，P(-3，3，a)． ∴ =(0，3，6)，=(-3，3，0)，=(-3，3，a)． 依题意，得， 即 3+2a =，亦即a=． 故P距C点的距离是侧棱的．