Question

对任意实数a，b，函数F(a，b)=

1

2

(a+b-|a-b|)．如果函数f（x）=sinx，g（x）=cosx，那么对于函数G（x）=F（f（x），g（x））．对于下列五种说法：
（1）函数G（x）的值域是[-

2

，2]；
（2）当且仅当2kπ+

π

2

＜x＜2(k+1)π(k∈Z)时，G（x）＜0；
（3）当且仅当x=2kπ+

π

2

(k∈Z)时，该函数取最大值1；
（4）函数G（x）图象在[

π

4

，

9π

4

]上相邻两个最高点的距离是相邻两个最低点的距离的4倍；
（5）对任意实数x有G(

5π

4

-x)=G(

5π

4

+x)恒成立．
其中正确结论的序号是

（2）（4）（5）

．

Answer 1

分析：由已知可得：G（x）=|）=

sinx，- 3π 4 +2kπ＜x＜ π 4 +2kπ cosx， π 4 +2kπ≤x＜ 5π 4 +2kπ

（k∈Z），逐一分析5个结论的真假，可得答案．

解答：解：∵f（x）=sinx，g（x）=cosx，
∴G（x）=F（f（x），g（x））=

1

2

（sinx+cosx-|sinx-cosx|）=

sinx，- 3π 4 +2kπ＜x＜ π 4 +2kπ cosx， π 4 +2kπ≤x＜ 5π 4 +2kπ

（k∈Z），
函数G（x）的值域是[-

2

2

，1]．故（1）错误，
当且仅当2kπ+

π

2

＜x＜2(k+1)π(k∈Z)时，G（x）＜0，故（2）正确；
当且仅当x=2kπ+

π

2

(k∈Z)或x=2kπ（k∈Z）时，该函数取最大值1，故（3）错误
函数G（x）图象在[

π

4

，

9π

4

]上相邻两个最高点的距离是相邻两个最低点的距离的4倍，正确；
对任意实数x有G(

5π

4

-x)=G(

5π

4

+x)恒成立，正确．
故答案为：（2）（4）（5）

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了三角函数的图象和性质，熟练掌握三角函数的图象和性质是解答的关键．