Question

设为正实数,现有下列命题:
①若,则;
②若,则;
③若,则;
④若,则.
其中的真命题有____________.(写出所有真命题的编号)

Answer 1

①④

试题分析：①若a²-b²=1，则a²-1=b²，即（a+1）（a-1）=b²，∵a+1＞a-1，∴a-1＜b，即a-b＜1，①正确；
②若，可取a=7，b=，则a-b＞1，∴②错误；
③若，则可取a=9，b=4，而|a-b|=5＞1，∴③错误；
④由|a³-b³|=1，
若a＞b，则a³-b³=1，即a³-1=b³，即（a-1）（a²+1+a）=b³，∵a²+1+a＞b²，∴a-1＜b，即a-b＜1；
若a＜b，则b³-a³=1，即b³-1=a³，即（b-1）（b²+1+b）=a³，∵b²+1+b＞a²，∴b-1＜a，即b-a＜1；
∴|a-b|＜1∴④正确；
故答案为①④
点评：中档题，可通过举反例的方法证明某些命题的错误性。要想说明命题正确，应给出严格的证明。