题目内容
对于定义在区间D上的函数f(x),若满足对?x1,x2∈D,且x1<x2时都有 f(x1)≥f(x2),则称函数f(x)为区间D上的“非增函数”.若f(x)为区间[0,1]上的“非增函数”且f(0)=l,f(x)+f(l-x)=l,又当x∈[0,
]时,f(x)≤-2x+1恒成立.有下列命题:
①?x∈[0,1],f(x)≥0;
②当x1,x2∈[0,1]且x1≠x2,时,f(x1)≠f(x)
③f(
)+f(
)+f(
)+f(
)=2;
④当x∈[0,
]时,f(f(x))≤f(x).
其中你认为正确的所有命题的序号为______.
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①?x∈[0,1],f(x)≥0;
②当x1,x2∈[0,1]且x1≠x2,时,f(x1)≠f(x)
③f(
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④当x∈[0,
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其中你认为正确的所有命题的序号为______.
对于①,因为f(0)=1,且f(x)+f(l-x)=l,取x=0,得f(1)=0,对?x∈[0,1],根据“非增函数”的定义知f(x)≥0.所以①正确;
对于②,由定义可知当x1,x2∈[0,1]且x1≠x2时,f(x1)与f(x2)可能相等.所以②不正确;
③由f(x)+f(l-x)=l,得f(
)+f(
)=1.因为当x∈[0,
]时f(x)≤-2x+1恒成立,所以f(
)≤
,又f(x)+f(l-x)=l,所以f(
)=
,而
<
,所以f(
)≥
,即f(
)=
,同理有f(
)=
,当x∈[
,
]时,由“非增函数”的定义可知,f(
)≤f(x)≤f(
),即f(x)=
.所以f(
)=f(
)=
.所以f(
)+f(
)+f(
)+f(
)=2,所以③成立.
④当x∈[0,
]时,x≤-2x+1,因为函数f(x)为区间D上的“非增函数”,所以f(x)≥f(-2x+1),所以f(f(x))≤f(-2x+1)≤f(x).所以④正确.
故答案为:①③④.
对于②,由定义可知当x1,x2∈[0,1]且x1≠x2时,f(x1)与f(x2)可能相等.所以②不正确;
③由f(x)+f(l-x)=l,得f(
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④当x∈[0,
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故答案为:①③④.
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