题目内容

对于定义在区间D上的函数f(x),若满足对?x1,x2∈D,且x1<x2时都有 f(x1)≥f(x2),则称函数f(x)为区间D上的“非增函数”.若f(x)为区间[0,1]上的“非增函数”且f(0)=l,f(x)+f(l-x)=l,又当x∈[0,
1
4
]时,f(x)≤-2x+1恒成立.有下列命题:
①?x∈[0,1],f(x)≥0;
②当x1,x2∈[0,1]且x1≠x2,时,f(x1)≠f(x)
③f(
1
8
)+f(
5
11
)+f(
7
13
)+f(
7
8
)=2;
④当x∈[0,
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4
]时,f(f(x))≤f(x).
其中你认为正确的所有命题的序号为______.
对于①,因为f(0)=1,且f(x)+f(l-x)=l,取x=0,得f(1)=0,对?x∈[0,1],根据“非增函数”的定义知f(x)≥0.所以①正确;
对于②,由定义可知当x1,x2∈[0,1]且x1≠x2时,f(x1)与f(x2)可能相等.所以②不正确;
③由f(x)+f(l-x)=l,得f(
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)+f(
7
8
)=1.因为当x∈[0,
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]时f(x)≤-2x+1恒成立,所以f(
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)≤
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,又f(x)+f(l-x)=l,所以f(
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)=
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,而
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,所以f(
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)≥
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,即f(
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)=
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,同理有f(
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)=
1
2
,当x∈[
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3
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]时,由“非增函数”的定义可知,f(
3
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)≤f(x)≤f(
1
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),即f(x)=
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.所以f(
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)=f(
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)=
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2
.所以f(
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)+f(
5
11
)+f(
7
13
)+f(
7
8
)=2,所以③成立.
④当x∈[0,
1
4
]时,x≤-2x+1,因为函数f(x)为区间D上的“非增函数”,所以f(x)≥f(-2x+1),所以f(f(x))≤f(-2x+1)≤f(x).所以④正确.
故答案为:①③④.
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