Question

如图，在Rt△ABC中，, BE平分∠ABC交AC于点E， 点D在AB上，．
（1）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；
（2）若，求EC的长．

Answer 1

（1）见解析；（2）

解析试题分析：（1）欲证为的外接圆切线,利用“弦切角与同弦所对的圆周角相等”性质，若能证明，则可证结论，方法二：取的中点为,若能证,则结论也成立（自行证明）；（2）根据切割线定理（圆幂定理之一），可得,并利用（1）中所证得，利用三角形,可求得.
试题解析：
证明：
因为在Rt△ABC中，, 点D在AB上，．
所以DB是的外接圆直径，
又因为BE平分∠ABC交AC于点E，
故,
故AC是△BDE的外接圆的切线.             4分
设BD的中点为O，连接OE，
由（1）知则OEAC，从而‖BC,
又,
从而AC=9.,得EC=3       .10分
考点：(1)圆的切线性质；（2）三角形相似，切割线定理.