题目内容

△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c当三角形分别满足下列条件时，求cosB：
（1）若a、b、c成等比数列，c=2a；
（2）若bcosC=（3a-c）cosB．

解：（1）若a、b、c成等比数列，则b²=ac，又 c=2a，由余弦定理可得
cosB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
（2）若bcosC=（3a-c）cosB，则由正弦定理可得 sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB，
∴sin（B+C）=3sinAcosB，∴sinA=3sinAcosB，∴cosB= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由a、b、c成等比数列，可得b²=ac，再由 c=2a 和由余弦定理可得cosB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，运算求得结果．
（2）由题意并利用由正弦定理可得 sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB，即sin（B+C）=3sinAcosB，可得cosB= $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查正弦定理、余弦定理、两角和的正弦公式的应用，是一道中档题．

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