Question

已知a>0，a≠1，数列{a_n}的首项为a，公比也为a的等比数列，令b_n=a_n·lga_n (n∈N)．

(1) 求数列{b_n}的前n项和S_n；

(2) 当数列{b_n}中的每一项总小于它后面的项时，求a的取值范围．

 

Answer 1

答案：
解析：

(1) 由题意得，an= an，bn=n·anlga， Sn=b1+b2+b3+…+bn=(1·a+2·a2+3·a3+…+n·an)lga． aSn=(1·a2+2·a3+3·a4+…+n·an+1)lga． 两式相减得， (1－a)Sn=(a+a2+a3+…+an－n·an+1) lga ∵ a≠1， ∴ ． (2) 由bk+1－bk=(k+1)ak+1lga－kaklga =aklga[k (a－1)+a] 由题意知bk+1－bk>0，而ak>0． ∴ lga[k (a－1)+a]>0    ① 若a>1，则lga>0，k (a－1)+a>0． ∴ 不等式①显然成立． 若0<a<1，则lga<0． 故不等式①k (a－1)+a<0恒成立． ∵ k< /span>∈N，∴ ． ∴ 恒成立．